Короткий ответ: Развёртка — плоская заготовка объёмной фигуры: по её граням можно понять, что получится после сгибания.
Развёртка показывает поверхность объёмного тела на плоскости без растяжения. Для многогранника обычно делают разрезы по некоторым рёбрам; для цилиндра и конуса боковую поверхность разрезают также по образующей. В школьных задачах выбирают развёртку без наложения частей, из которой можно собрать бумажную модель.
У куба это шесть квадратов, у прямого кругового цилиндра — прямоугольник и два круга, у прямого кругового конуса — сектор и круг.
Возьмите пустую коробку от сока или обувную коробку и аккуратно расклейте её по швам. Разложите на столе — и вместо объёмного ящика перед вами окажется плоский лист причудливой формы с линиями сгибов. Проделайте обратный путь: согните по линиям, склейте — и коробка снова стала объёмной. Так собирают упаковку и бумажные модели. При пошиве одежды используют близкую идею выкройки, но объём получают также швами, вытачками и деформацией ткани; это не точная развёртка поверхности тела. Этот плоский «чертёж поверхности» в математике называют развёрткой, и научиться его строить проще, чем кажется.
Удивительный факт: у обычного куба целых 11 разных развёрток! Кажется, что «крест из шести квадратов» — единственный способ, но математики доказали, что шесть квадратов можно соединить в плоскую фигуру, складывающуюся в куб, ровно одиннадцатью способами. А вот кожуру апельсина (кусочек сферы) разложить в плоскую развёртку без разрывов и растяжений невозможно вообще — поэтому все карты Земли искажают материки.
Что такое развёртка простыми словами?
Развёртка — это поверхность объёмного тела, «разрезанная» и разложенная на плоскости в один слой. Представьте, что тело сделано из бумаги: если разрезать его по некоторым рёбрам и расправить, получится плоская фигура. Она состоит из тех же граней, что и тело, только теперь они лежат рядом на столе, а не в пространстве.
Главное свойство развёртки: её площадь в точности равна площади поверхности тела. Ничего не растянулось и не сжалось — мы просто разложили грани по-другому. Поэтому развёртки удобны не только для склеивания моделей, но и для расчёта, сколько материала нужно на коробку, банку или колпак.
Как выглядит развёртка куба?
Развёртка куба — это шесть одинаковых квадратов, соединённых сторонами так, что при сгибании они образуют куб. Самый узнаваемый вариант — «крест»: четыре квадрата в ряд плюс по одному сверху и снизу. Но это не единственный способ: как мы уже сказали, у куба 11 различных развёрток, если повороты и зеркальные отражения одной схемы не считать новыми.
Как проверить, что фигура из шести квадратов действительно сложится в куб? Мысленно сгибайте её: выберите один квадрат «дном», а соседние поднимайте вверх как стенки. Если все шесть граней встают на места и не накладываются друг на друга — развёртка верна. Если два квадрата претендуют на одну и ту же грань — нет.
Как построить развёртку цилиндра и конуса?
Развёртка цилиндра состоит из трёх частей: одного прямоугольника и двух кругов. Круги — это верхнее и нижнее основания. Прямоугольник — это боковая поверхность, «расправленная» этикетка. Его высота равна высоте цилиндра, а ширина равна длине окружности основания, то есть 2πr. Проверьте на консервной банке: отклейте этикетку — она развернётся в аккуратный прямоугольник.
Развёртка конуса устроена похоже, но боковая часть — не прямоугольник, а сектор круга (кусок «пирога»). Радиус этого сектора равен образующей конуса l, а длина дуги равна длине окружности основания 2πr. Плюс один круг-основание радиуса r. Проще всего это увидеть на бумажном праздничном колпаке: разрежьте его вдоль — и он развернётся в веер-сектор.
| Тело | Из чего состоит развёртка |
|---|---|
| Куб | 6 равных квадратов |
| Прямоугольный параллелепипед | 6 прямоугольников (попарно равных) |
| Цилиндр | прямоугольник (2πr × h) + 2 круга |
| Конус | сектор круга (радиус l) + 1 круг |
| Пирамида | многоугольник-основание + треугольники-грани |
Как собрать бумажную модель куба
Для бумажной модели куба начертите на картоне четыре квадрата со стороной 4 см в ряд и добавьте по квадрату сверху и снизу второго квадрата. По внешним краям предусмотрите узкие клапаны для клея, вырежьте заготовку, согните по линиям и склейте. Клапаны — техническая добавка, а не грани: площадь поверхности куба здесь 6·4² = 96 см², тогда как картона на заготовку потребуется немного больше. До склеивания проверьте, что у всех шести граней своё место и ни одна не закрывает другую.
Как рассчитать раскрой и упаковку
При проектировании картонной упаковки сначала строят плоскую заготовку с линиями сгиба. Расположение заготовок на листе влияет на расход материала и обрезки. Для расчёта различают площадь геометрической поверхности, клапаны, технологические припуски и неизбежные отходы раскроя. Выкройка одежды использует близкую идею, но обычно не является точной развёрткой поверхности тела: объём получают швами, вытачками и деформацией ткани. Металлические листы тоже можно развернуть без растяжения лишь для подходящих поверхностей, например цилиндрических; двойная кривизна требует формования, а не одного сгиба.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Ребро куба 5 см. Чему равна площадь его развёртки?
Развёртка куба — 6 квадратов со стороной 5 см. Площадь одного квадрата 5 · 5 = 25 см². Всего: 6 · 25 = 150 см². Это же и есть площадь поверхности куба.
Задача 2. У цилиндра радиус основания 3 см, высота 10 см. Найдите размеры прямоугольника в развёртке.
Высота прямоугольника равна высоте цилиндра — 10 см. Ширина равна длине окружности основания: 2πr = 2 · 3,14 · 3 ≈ 18,8 см. Значит, боковая развёртка — прямоугольник примерно 18,8 × 10 см.
Задача 3. Сколько граней, и значит частей, будет в развёртке прямоугольного параллелепипеда (кирпича)?
У параллелепипеда 6 граней, поэтому и в развёртке 6 прямоугольников. Они попарно равны: противоположные грани одинаковы, поэтому среди шести прямоугольников три пары одинаковых.
Немного истории
В 1525 году Альбрехт Дюрер опубликовал в своём руководстве по геометрии изображения развёрток многогранников. Такой чертёж позволял увидеть все грани на плоскости и собрать бумажную модель пространственного тела. Связь искусства, черчения и математики здесь вполне конкретна: от рисунка граней переходят к сгибам и проверяют, совпадают ли соединяемые рёбра. Исторический пример не означает, что любую поверхность можно разложить таким способом: применимость развёртки зависит от геометрии самого тела.
Почему плоская карта искажает поверхность Земли
Куб, прямой круговой цилиндр и конус допускают развёртки после подходящих разрезов. Сфера отличается: её участок нельзя перенести на плоскость с сохранением всех длин без растяжения или сжатия. Поэтому плоская карта не сохраняет одновременно все метрические свойства глобуса. Разные проекции выбирают разные компромиссы: одни сохраняют площади, другие — углы в малой окрестности точки. В проекции Меркатора области высоких широт выглядят увеличенными, но это не свойство каждой карты. Перед сравнением размеров материков важно знать, какую проекцию использовали.
Частые вопросы
Что такое развёртка геометрической фигуры?
Развёртка — это поверхность тела, разрезанная и разложенная на плоскости без растяжения. У многогранника она составлена из граней, а у цилиндра или конуса включает развёрнутую боковую поверхность и основания. Разрезы не обязаны идти только по рёбрам. Площадь частей развёртки равна площади соответствующей поверхности.
Сколько развёрток у куба?
У куба ровно 11 различных развёрток. Каждая состоит из шести квадратов, соединённых сторонами так, что при сгибании они складываются в куб без наложений. Самая известная — крест: четыре квадрата в ряд и по одному сверху и снизу. Остальные десять — это другие способы соединить те же шесть квадратов.
Как выглядит развёртка цилиндра?
Развёртка цилиндра — это прямоугольник и два круга. Круги — верхнее и нижнее основания радиуса r. Прямоугольник — боковая поверхность: его высота равна высоте цилиндра, а ширина равна длине окружности основания 2πr. Наглядный пример — этикетка консервной банки, которая при отклеивании разворачивается в прямоугольник.
Чем развёртка конуса отличается от развёртки цилиндра?
У цилиндра боковая часть разворачивается в прямоугольник, а у конуса — в сектор круга (кусок «пирога»). Радиус сектора равен образующей конуса, а длина его дуги равна длине окружности основания. Плюс у конуса одно круглое основание, а у цилиндра — два круга.
Зачем нужны развёртки в жизни?
По развёрткам кроят упаковку, делают бумажные модели и рассчитывают подходящие листовые детали. Их площадь равна площади соответствующей поверхности; клапаны и отходы считают отдельно. Выкройка одежды — близкая практическая идея, но швы, вытачки и деформация ткани отличают её от точной развёртки без растяжения.