Развёртка пирамиды: PDF A4 в трёх размерах. Выберите вариант с клапанами для клея или без клапанов для скотча.
Ещё два размера — четыре PDF
В новой серии апофема ℓ = 1,4a. Это высота боковой грани, а не высота тела.
Новая серия ниже отличается от исходного шаблона в статье; размеры каждого PDF подписаны отдельно.
Развёртка квадратной пирамиды состоит из квадрата и четырёх треугольников. У правильной пирамиды треугольники одинаковые и равнобедренные. В нашем шаблоне сторона основания — 40 мм, а высота собранной пирамиды — 50 мм. Клапаны для клея добавлены отдельно.
Скачать шаблон квадратной пирамиды — PDF A4. Можно сразу распечатать модель или построить такую же по размерам. PDF задаёт один готовый размер; для другой пирамиды ниже разобран расчёт.
Содержание
Какие размеры нужны для построения
Одной высоты тела недостаточно, чтобы начертить боковой треугольник: его вершина на развёртке лежит дальше от основания, чем вершина собранной пирамиды от плоскости стола. Сначала различим три отрезка.
| Величина | Где измеряется | В шаблоне |
|---|---|---|
| Сторона основания a | Сторона квадрата | 40 мм |
| Высота тела h | От вершины перпендикулярно основанию | 50 мм |
| Высота боковой грани l | От вершины до середины стороны квадрата по треугольной грани | √2900 ≈ 53,85 мм |
У правильной квадратной пирамиды проекция вершины попадает в центр основания. Расстояние от центра квадрата до середины его стороны равно a/2. Получается прямоугольный треугольник с катетами h и a/2, поэтому l = √(h² + (a/2)²). Эта формула не переносится без проверки на наклонную пирамиду или произвольное основание.
Пример 1. Как построить развёртку по высоте тела
Пусть a = 40 мм, h = 50 мм. Тогда высота каждой боковой грани равна √(50² + 20²) = √2900 ≈ 53,85 мм. Начертите квадрат 40 × 40 мм. На внешнем перпендикуляре к середине каждой стороны отложите по 53,85 мм, затем соедините полученную точку с концами этой стороны. Получатся четыре одинаковых треугольника.
Боковые стороны каждого треугольника при этом равны √(53,85…² + 20²) = √3300 ≈ 57,45 мм. Это проверка построения: они должны совпадать попарно при склейке. Высоту грани рассчитывайте из точного √2900, а не из уже округлённого значения. Для ручного чертежа округление до десятых миллиметра обычно точнее самой разметки; PDF содержит исходные расчётные размеры.
Пример 2. Как найти площадь бумаги для граней
У другой правильной пирамиды a = 6 см, h = 4 см. Высота грани l = √(4² + 3²) = 5 см. Площадь квадрата — 36 см². Четыре треугольника дают 4 · (6 · 5 / 2) = 60 см². Площадь поверхности равна 96 см².
При раскрое потребуется больше 96 см² бумаги: есть клапаны и промежутки между деталями. Площадь поверхности и площадь прямоугольного листа для печати — разные величины. У первого PDF площадь самих граней составляет примерно 59,08 см².
Как собрать именно эту модель
Оставьте квадрат гранью основания. Поднимите вокруг него четыре треугольника; их вершины должны сойтись в одной точке. Сначала соедините две соседние грани, затем добавляйте остальные, сверяя буквы у швов. Последний клапан удобнее подклеивать после проверки, что основание не перекошено. Если вершины не сходятся, проверьте сгиб по стороне квадрата и не перепутаны ли клапан и сама грань.
Как распечатать шаблон без изменения размеров
Откройте PDF и выберите бумагу A4, масштаб 100% или «Фактический размер». Отключите «Вписать в страницу»: эта настройка может уменьшить модель. После печати измерьте контрольный отрезок внизу листа — он должен быть длиной 50 мм. Если получилось 45 мм, распечатка уменьшена до 90%; её нельзя использовать для проверки заявленных размеров. Вернитесь к настройкам печати.
Сплошная линия обозначает разрез, пунктирная — сгиб. Серые клапаны на иллюстрации и выступы на PDF нужны для клея; они не являются гранями. На шаблоне одинаковыми буквами отмечены клапан и край, который нужно к нему приклеить. Сначала вырежьте внешний контур вместе с клапанами, наметьте сгибы и примерьте детали без клея. Удобно согнуть заготовку по линейке, затем склеить пары по буквам, пряча клапаны внутрь. Числа в середине граней помогают сверять их количество.
Для первой попытки подойдёт обычная бумага: на ней проще исправить ошибочный сгиб. Более плотную бумагу выбирайте после пробной сборки. Не надрезайте линии сгиба насквозь. Работайте ножницами аккуратно; ребёнку при необходимости помогает взрослый.
Почему не к любому основанию подходят четыре одинаковых треугольника
Число боковых граней равно числу сторон основания: у треугольной пирамиды их три, у пятиугольной — пять. Четыре одинаковых треугольника в этом PDF относятся к правильной квадратной пирамиде. У пирамиды с прямоугольным основанием боковые грани обычно не все одинаковы. Для неё нужен другой чертёж.
Проверьте себя
1. Сторона квадрата 8 см, высота боковой грани 5 см. Какова площадь поверхности?
Основание: 8² = 64 см². Боковые грани: 4 · 8 · 5 / 2 = 80 см². Всего 144 см². Здесь 5 см — высота грани, а не высота тела.
2. Сколько граней у пирамиды с семиугольным основанием?
Семь треугольных боковых граней и одно основание: всего восемь. Клапаны в это число не входят.
3. Все длины правильной пирамиды увеличили в 1,5 раза. Во сколько раз увеличится площадь развёртки без клапанов?
В 1,5² = 2,25 раза: у каждой грани увеличились оба линейных размера. Саму высоту тела тоже нужно увеличить в 1,5 раза.
Что изучить дальше
После сборки можно перейти к связанным объяснениям: