Короткий ответ: логарифмическое уравнение содержит неизвестную в аргументе или основании логарифма. Надёжный порядок решения: записать ОДЗ → упростить логарифмы → решить полученное уравнение → отобрать корни по ОДЗ или проверить подстановкой. Для логарифма loga f(x) нужны условия f(x) > 0, a > 0 и a ≠ 1.
Что нужно знать до решения
Логарифм отвечает на вопрос о показателе степени: logab = c означает ac = b. В вещественных числах основание a положительно и не равно 1, а аргумент b положителен.
«Логарифм» — определение, область допустимых значений и тождества.
- logaac = c;
- loga(uv) = logau + logav, если u > 0 и v > 0;
- loga(u/v) = logau − logav, если u > 0 и v > 0;
- если logau = logav при допустимом a, то u = v, причём u > 0 и v > 0.
Универсальный алгоритм
- Найдите ОДЗ исходного уравнения. Каждый аргумент должен быть положительным; для переменного основания добавьте a(x) > 0 и a(x) ≠ 1.
- Выберите преобразование. Перейдите к степени, приведите логарифмы к одному основанию, объедините сумму или разность либо сделайте замену.
- Решите новое уравнение.
- Отберите корни. Корень, нарушающий хотя бы одно условие исходного ОДЗ, исключается.
- Проверьте. Подстановка особенно полезна после возведения в квадрат и других неравносильных действий.
Методика решения логарифмических уравнений — ОДЗ, преобразования и проверка.
Основные типы с примерами
1. По определению логарифма
Решим log3(2x − 1) = 2.
ОДЗ: 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2. Переходим к степени: 2x − 1 = 3² = 9. Отсюда 2x = 10 и x = 5. Корень входит в ОДЗ. Ответ: 5.
2. Равенство логарифмов с одинаковым основанием
Решим log5(x + 7) = log5(3x − 1).
ОДЗ: x + 7 > 0 и 3x − 1 > 0, поэтому x > 1/3. Приравниваем аргументы: x + 7 = 3x − 1. Получаем x = 4. Он допустим. Ответ: 4.
3. Сумма логарифмов
Решим log2x + log2(x − 2) = 3.
ОДЗ: x > 0 и x − 2 > 0, то есть x > 2. Объединяем: log2[x(x − 2)] = 3. Тогда x(x − 2) = 8, или x² − 2x − 8 = 0. Корни: x = 4 и x = −2. По ОДЗ остаётся x = 4.
4. Замена переменной
Решим (log2x)² − 5log2x + 6 = 0.
ОДЗ: x > 0. Пусть t = log2x. Тогда t² − 5t + 6 = 0, откуда t = 2 или t = 3. Возвращаемся: x = 2² = 4 или x = 2³ = 8. Оба корня допустимы.
5. Разные основания
Решим log2x = log416.
Правая часть равна 2, потому что 4² = 16. Получаем log2x = 2, значит x = 4. В более сложных примерах используют формулу перехода: logab = logcb / logca.
| Запись | Равносильный шаг |
|---|---|
| logab = c | b = ac |
| logau = logav | u = v при u > 0, v > 0 |
| logau + logav | loga(uv) при u > 0, v > 0 |
Когда преобразование опасно
Формула loga(uv) = logau + logav требует положительности каждого аргумента справа. Условие uv > 0 само по себе слабее: произведение может быть положительным при двух отрицательных множителях, но отдельные вещественные логарифмы тогда не определены.
Например, в уравнении log2(x − 1) + log2(x − 3) = 3 исходное ОДЗ равно x > 3. После объединения получится (x − 1)(x − 3) = 8 и корни x = 5, x = −1. Второй корень удовлетворяет положительности произведения, но нарушает исходное ОДЗ и потому посторонний.
| Кандидат | Аргументы x−1 и x−3 | Решение исходного уравнения |
|---|---|---|
| x = 5 | 4 и 2, оба положительны | Да: log₂4 + log₂2 = 3 |
| x = −1 | −2 и −4, оба отрицательны | Нет: отдельные логарифмы не определены |
Типичные ошибки
- Записывать ОДЗ после преобразований. Ограничения берут из исходного уравнения.
- Разрешать нулевой аргумент. Нужно строгое неравенство f(x) > 0.
- Считать log(u + v) суммой логарифмов. Такой формулы нет.
- Забывать условия для переменного основания. Оно должно быть положительным и не равным 1.
- Не делать обратную замену. Значение t = logax — ещё не ответ для x.
Практика
1. log4(x + 1) = 2
ОДЗ: x > −1. x + 1 = 16, поэтому x = 15.
2. log3(2x + 5) = log3(x + 9)
ОДЗ: x > −2,5. 2x + 5 = x + 9, поэтому x = 4.
3. log2x + log2(x − 6) = 3
ОДЗ: x > 6. x(x − 6) = 8; x² − 6x − 8 = 0; x = 3 ± √17. Допустим только x = 3 + √17.
4. (lg x)² − lg x − 2 = 0
Пусть t = lg x. t² − t − 2 = 0, t = 2 или t = −1. Поэтому x = 100 или x = 0,1.
Частые вопросы
Всегда ли нужна ОДЗ?
Да, если решение ведётся в вещественных числах. Иногда удобнее проверять все полученные корни в исходном уравнении, но условия существования логарифмов всё равно должны быть учтены.
Можно ли просто «убрать логарифмы»?
Только при равных логарифмах с одним допустимым основанием и положительными аргументами. В остальных случаях сначала нужно получить подходящую форму.
Чем уравнения отличаются от логарифмических неравенств?
В неравенствах дополнительно учитывают возрастание или убывание логарифма: при основании от 0 до 1 знак сравнения аргументов меняется.
Связанные темы
Повторите свойства логарифмов. Следующая тема после уравнений — логарифмические неравенства, где дополнительно учитывают монотонность.
Повторить степени и корни можно в курсе «Степени и корни».