Область значений функции — это все значения y, которые функция действительно принимает при допустимых x. На графике это все высоты точек: мысленно проведите горизонтальные линии и отметьте, каких y они достигают. Не путайте её с областью определения: область определения отвечает про допустимые x, область значений — про получающиеся y.
По графику ищем не x, а высоты y
Рассмотрим f(x) = x². Аргумент x можно брать любым действительным числом, поэтому область определения — все действительные числа. Но квадрат не бывает отрицательным: самая низкая точка параболы имеет высоту 0, а выше график идёт без границы. Значит, область значений функции f — y ≥ 0.
По формуле ищем границу или исключённое значение
У функции g(x) = (x − 1)² + 2 квадрат по-прежнему неотрицателен. Наименьшее значение получается, когда x = 1: g(1) = 2. Поэтому область значений — y ≥ 2. Сдвиг графика вверх на 2 сдвинул и нижнюю границу области значений.
Бывает и другой тип ограничения. Для h(x) = 1/(x − 2) нельзя подставлять x = 2, а значение y = 0 получить невозможно: дробь с числителем 1 не равна нулю. Для любого другого y можно подобрать x: из y = 1/(x − 2) следует x = 2 + 1/y. Значит, область значений — все действительные y, кроме 0.
Связываем область определения и область значений
Сначала проверьте, какие x разрешает формула, затем спросите, какие y могут выйти. Для корня p(x) = √(x + 3) разрешены x ≥ −3, а результаты корня всегда неотрицательны, поэтому область значений p — y ≥ 0. При x = −3 получаем нижнюю границу: p(−3) = 0.
Основу записи функции можно повторить в материале «Функция в математике». Если нужно сначала отделить допустимые аргументы от недопустимых, используйте материал «Область определения функции».
Три проверки
Задача 1. Найдите область значений a(x) = x² + 1.
Ответ: y ≥ 1. Квадрат не меньше 0, а при x = 0 значение равно 1. Если написали y ≥ 0, учтите сдвиг графика вверх на 1.
Задача 2. Может ли b(x) = 1/(x + 4) принять значение 0?
Ответ: нет; область значений — y ≠ 0. Числитель дроби равен 1, поэтому результат не станет нулём. Не путайте это с запретом x = −4: он относится к области определения.
Задача 3. Найдите область значений c(x) = √(x − 5).
Ответ: y ≥ 0. Аргумент должен быть не меньше 5, но после извлечения корня получаются только неотрицательные y. Для нижней границы подставьте x = 5: c(5) = 0.
Открыть раздел «Введение в функции». Это смежный курс для продолжения темы функций; ссылка не обещает отдельное упражнение именно на область значений.