Совершенное число — натуральное число, равное сумме своих положительных делителей, кроме самого себя. Например, 6 = 1 + 2 + 3, поэтому 6 совершенное. Чтобы проверить другое число, выпишите его собственные делители и сравните их сумму с исходным числом.
Следующие после 6 совершенные числа — 28, 496 и 8128. У числа 28 собственные делители 1, 2, 4, 7 и 14, и их сумма тоже равна 28. Такая проверка отличает точное математическое свойство от слова «совершенный» в обычной речи. На 28 августа 2026 года известно 52 совершенных числа; все они чётные и связаны с простыми числами Мерсенна.
Удивительный факт: у числа 6 есть ещё один «совершенный» фокус. Оно не только равно сумме своих делителей (1 + 2 + 3 = 6), но и равно их произведению: 1 × 2 × 3 = 6. Шестёрка — единственное число, у которого сходятся сразу оба этих свойства. Неудивительно, что в древности за ней закрепилась слава особенного, почти магического числа.
Что такое совершенное число простыми словами?
Совершенное число — это число, которое «складывается» из своих собственных делителей. Возьмите число, найдите все его делители меньше него самого (их называют собственными делителями) и сложите. Если сумма получилась равной исходному числу — оно совершенное. Если сумма меньше числа, его называют недостаточным, если больше — избыточным.
Проверим на числе 28. Его собственные делители: 1, 2, 4, 7 и 14. Складываем: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Получилось само число — значит, 28 совершенное. А вот 12 избыточное: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, это больше 12. Число же 8 недостаточное: 1 + 2 + 4 = 7, это меньше 8.
| Число | Собственные делители | Их сумма | Вывод |
|---|---|---|---|
| 6 | 1, 2, 3 | 6 | совершенное |
| 8 | 1, 2, 4 | 7 | недостаточное |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6 | 16 | избыточное |
| 28 | 1, 2, 4, 7, 14 | 28 | совершенное |
Какие числа совершенные и сколько их?
Первые четыре совершенных числа — 6, 28, 496 и 8128. Они были известны ещё древним грекам. Пятое совершенное число — уже 33 550 336. Его можно получить по формуле Евклида: 212 · (213 − 1) = 4096 · 8191 = 33 550 336, где 8191 — простое число. Совершенные числа встречаются редко и быстро становятся огромными. Всего на 2026 год их найдено 52, и самое большое из них состоит примерно из 82 миллионов цифр — если его напечатать, понадобятся десятки тысяч страниц.
Как найти совершенное число по формуле Евклида?
Ещё Евклид более двух тысяч лет назад открыл рецепт для чётных совершенных чисел. Правило такое: если число вида 2ᵖ − 1 оказывается простым, то произведение 2ᵖ⁻¹ · (2ᵖ − 1) будет совершенным. Числа вида 2ᵖ − 1 называют числами Мерсенна; здесь нужны именно простые числа этого вида, и именно их редкость объясняет, почему совершенных чисел так мало.
Проверим формулу. При p = 2: число 2² − 1 = 3 простое, значит 2¹ · 3 = 6 — совершенное. При p = 3: число 2³ − 1 = 7 простое, значит 2² · 7 = 28 — совершенное. При p = 5: 2⁵ − 1 = 31 простое, значит 2⁴ · 31 = 496. При p = 7: 2⁷ − 1 = 127 простое, значит 2⁶ · 127 = 8128. Спустя две тысячи лет Леонард Эйлер доказал обратное: любое чётное совершенное число обязательно имеет именно такой вид. Поэтому поиск чётных совершенных чисел равносилен поиску простых чисел Мерсенна. Вопрос о нечётных совершенных числах остаётся отдельным.
Проверка с помощью групп кубиков
Возьмите 6 одинаковых кубиков. Их можно разложить на равные кучки только тремя способами, кроме кучки из всех шести: по одному (6 кучек), по два (3 кучки) и по три (2 кучки). Размеры этих «честных» кучек — 1, 2 и 3. Сложите их: 1 + 2 + 3 = 6. Кубики словно рассказывают сами о себе: число 6 ровно собирается из размеров своих кучек. Проверьте тот же способ с 28 кубиками — получится снова совершенно ровно.
Числовая символика и наблюдения природы
Совершенные числа встречаются и в истории идей, но символические ассоциации не следует принимать за физические законы. Августин в книге XI «О граде Божием» связывал шесть дней творения с тем, что 6 равно сумме своих собственных делителей. Это богословское толкование математического свойства. А полный цикл лунных фаз длится примерно 29,5 суток, не 28: второе совершенное число не даёт точной длины лунного месяца. Математическую проверку числа и измерение природного периода выполняют независимо.
На практике: как проверить число программой
В программе делители удобно находить парами: если n делится на d, второй делитель равен n/d. Достаточно перебирать d до √n, потому что в каждой паре хотя бы один делитель не больше корня. Для 28 пары равны 1·28, 2·14 и 4·7; исключаем само 28 и складываем 1 + 2 + 14 + 4 + 7 = 28. Если n — квадрат, совпадающие делители, например 6 и 6 для 36, учитывают один раз. Для n = 1 собственных положительных делителей нет, их сумма равна 0. Такая проверка подтверждает свойство одного введённого числа, но не решает вопрос о всех нечётных совершенных числах.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Проверьте, является ли совершенным число 496.
Собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Сложим их по частям: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31; затем 31 + 62 + 124 + 248 = 465; итого 31 + 465 = 496. Сумма равна самому числу — значит, 496 совершенное.
Задача 2. По формуле Евклида получите совершенное число при p = 3.
Сначала проверяем 2³ − 1 = 7 — это простое число. Тогда совершенное число равно 2³⁻¹ · (2³ − 1) = 2² · 7 = 4 · 7 = 28. Всё сходится: 28 действительно второе совершенное число.
Задача 3. Число 10 — совершенное, избыточное или недостаточное?
Собственные делители 10: 1, 2 и 5. Их сумма 1 + 2 + 5 = 8, а это меньше 10. Значит, число 10 недостаточное — своих делителей ему «не хватает», чтобы собрать себя целиком.
Немного истории
В «Началах» Евклида, предложении 36 книги IX, доказано построение чётного совершенного числа из простого числа вида 2ᵖ − 1. В XVIII веке Эйлер доказал обратное: каждое чётное совершенное число имеет такой вид. Эти два направления вместе называют теоремой Евклида–Эйлера. Первое даёт способ получать примеры, второе утверждает, что среди чётных совершенных чисел других форм нет. Оно не решает вопрос о существовании нечётных совершенных чисел.
Открытый вопрос о нечётных совершенных числах
Все известные совершенные числа чётные, а существование хотя бы одного нечётного пока не установлено. Для гипотетического нечётного совершенного числа доказаны ограничения: например, Паскаль Ошем и Михаэль Рао получили нижнюю границу N > 101500. Это вычислительное доказательство, исследующее возможные простые множители, а не последовательная проверка каждого нечётного числа до этой границы. Даже огромная нижняя граница не означает отсутствия таких чисел вообще: для этого потребовалось бы отдельное доказательство.
Частые вопросы
Что такое совершенное число?
Совершенное число — это натуральное число, равное сумме всех своих делителей, кроме самого себя. Например, у числа 6 собственные делители 1, 2 и 3, и 1 + 2 + 3 = 6. Значит, 6 совершенное. Такие числа очень редки: первые из них — 6, 28, 496 и 8128.
Какие числа являются совершенными?
Первые совершенные числа — 6, 28, 496 и 8128, затем 33 550 336. Дальше они растут очень быстро. На 2026 год известно всего 52 совершенных числа, и все они чётные. Каждое из них получается по формуле Евклида из простого числа Мерсенна вида 2ᵖ − 1.
Почему число 6 совершенное?
Число 6 делится нацело на 1, 2 и 3 (кроме самого себя). Если сложить эти делители, получится 1 + 2 + 3 = 6 — снова само число. Именно поэтому 6 называют совершенным. Это самое маленькое совершенное число и единственное, равное и сумме, и произведению своих положительных собственных делителей.
Существуют ли нечётные совершенные числа?
Пока неизвестно. Все 52 известных совершенных числа чётные. Существует ли хотя бы одно нечётное совершенное число — нерешённая задача, которой больше двух тысяч лет. Для возможного нечётного совершенного числа доказаны большие нижние границы и ограничения на делители, но его существование или невозможность пока не установлены.
Как связаны совершенные числа и числа Мерсенна?
По теореме Евклида–Эйлера каждое чётное совершенное число имеет вид 2ᵖ⁻¹ · (2ᵖ − 1), где 2ᵖ − 1 — простое число Мерсенна. Поэтому каждому простому числу Мерсенна соответствует ровно одно совершенное число. Искать новые чётные совершенные числа — то же самое, что искать новые простые числа Мерсенна; нечётный случай эта теорема не охватывает.
Формула Евклида связывает делимость с поиском простых чисел. Для дальнейшего обучения посмотрите программу курса «Теория чисел».