Разложить натуральное число больше 1 на простые множители — значит представить его произведением простых чисел. Например, 60 = 2·2·3·5 = 2²·3·5. Набор множителей, включая число повторений каждого из них, единственен с точностью до порядка записи.
Простыми называют натуральные числа больше 1, у которых ровно два положительных делителя: 1 и само число. К ним относятся 2, 3, 5, 7, 11 и другие. При разложении составное число делят на более простые части, пока все множители не окажутся простыми. Полученная запись полезна для НОД, НОК и сокращения дробей; трудность обратной задачи для некоторых больших чисел важна в криптографии.
Что значит разложить число на простые множители?
Это значит записать число как произведение только простых чисел. Простое число — натуральное число больше 1, которое делится без остатка лишь на 1 и на себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее. Составное число 12 можно разложить так: 12 = 2·2·3. Двойка и тройка простые, поэтому процесс закончен. Через степень запись короче: 12 = 2²·3. Единица не является простым числом и в список множителей не входит.
Как разложить число на простые множители: способ «дерево»
Дерево разложения — самый наглядный способ. Берём составное число и разбиваем его на два натуральных множителя больше 1, затем каждый составной множитель снова разбиваем — и так, пока внизу не останутся одни простые числа. Их и перемножаем. Разберём на числе 60: 60 = 2·30, дальше 30 = 2·15, потом 15 = 3·5. Простые «листики» дерева — 2, 2, 3, 5, значит 60 = 2·2·3·5.
Важно: с чего бы вы ни начали дробить число, итоговый набор простых множителей будет один и тот же. Можно начать с 60 = 6·10, и всё равно придёте к 2·2·3·5. Порядок может отличаться, состав — никогда.
Как раскладывать делением уголком?
Второй способ удобнее для больших чисел. Число пишут слева, а справа за вертикальной чертой — простые делители. Делим на наименьшее простое число, какое подходит, и повторяем с результатом, пока не дойдём до единицы. Множители справа и есть разложение.
- 60 делится на 2 → 30 (записали множитель 2);
- 30 делится на 2 → 15 (множитель 2);
- 15 на 2 не делится, делим на 3 → 5 (множитель 3);
- 5 — простое, делим на 5 → 1 (множитель 5).
Собираем множители справа: 2·2·3·5 = 60. Тот же ответ, что и у дерева. Чтобы быстро понимать, на что делится число, помогают признаки делимости: на 2 делятся чётные, на 3 — если сумма цифр кратна 3, на 5 — если оканчивается на 0 или 5.
Зачем раскладывать числа на множители в жизни?
Разложение помогает находить НОД и НОК, сокращать дроби и подбирать общий знаменатель. Это удобный способ, но не единственный: дроби можно складывать и без предварительного поиска НОК. Например, для сокращения 18/24 разложим 18 = 2·3·3 и 24 = 2·2·2·3. Общие множители 2 и 3 дают НОД = 6; разделив обе части дроби на 6, получаем 3/4. Для НОК берут каждый простой множитель в наибольшем нужном количестве: НОК(18, 24) = 2³·3² = 72.
Разложение связано и с криптографией. В распространённом варианте RSA модуль получают как произведение двух больших различных простых чисел, а сам модуль входит в открытый ключ. Если эти множители известны, можно восстановить секретные параметры. Однако длина числа сама по себе не гарантирует защиту: важны выбор параметров, известные алгоритмы атак, вычислительные ресурсы и правильная реализация. Поэтому нельзя обещать, что любое число «в сотни цифр» невозможно разложить или что на это обязательно потребуются тысячи лет. RSA применяется в схемах шифрования и электронной подписи, а не заменяет всю систему защиты данных.
Чем простые множители отличаются от обычных делителей?
Здесь под делителями понимаются положительные целые числа, на которые исходное число делится без остатка. У 12 это 1, 2, 3, 4, 6, 12. В разложении 12 = 2·2·3 простые множители — 2 и 3, причём двойка повторяется дважды. Остальные делители получают, выбирая множители с учётом этих повторений: например, 4 = 2·2 и 6 = 2·3. Делитель 1 соответствует выбору без множителей; произведение такого пустого набора принимают равным 1.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Разложите число 36 на простые множители
36 = 2·18 = 2·2·9 = 2·2·3·3. Значит, 36 = 2²·3². Проверка: 4·9 = 36. ✓
Задача 2. Разложите число 100
Делим уголком: 100 ÷ 2 = 50, 50 ÷ 2 = 25, 25 ÷ 5 = 5, 5 ÷ 5 = 1. Получаем 100 = 2·2·5·5 = 2²·5². Проверка: 4·25 = 100. ✓
Задача 3. Разложите число 84
84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1. Значит, 84 = 2·2·3·7 = 2²·3·7. Проверка: 4·21 = 84. ✓
Задача 4. С помощью разложения найдите НОД чисел 24 и 36
24 = 2·2·2·3, 36 = 2·2·3·3. Общие множители — две двойки и одна тройка: 2·2·3 = 12. Наибольший общий делитель равен 12.
Кто доказал, что разложение единственно?
В «Началах» Евклида есть результаты о простых числах, на которых строится доказательство единственности разложения. В частности, предложение VII.30 утверждает: если простое число делит произведение двух чисел, оно делит хотя бы один множитель. Бесконечность простых чисел доказана отдельно в IX.20. В «Арифметических исследованиях» 1801 года Карл Фридрих Гаусс прямо формулирует и доказывает единственность разложения составного числа в статье 16. Так школьный приём связан с основной теоремой арифметики и развитием теории чисел.
Почему простых чисел бесконечно много
Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много: какое бы большое простое число ни было найдено, существуют простые числа ещё больше. В среднем дальше по числовому ряду они встречаются реже. Насколько быстро уменьшается их доля, описывает теорема о распределении простых чисел, независимо доказанная Жаком Адамаром и Шарлем Жаном де ла Валле-Пуссеном в 1896 году. Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Если она верна, это даст особенно точную оценку отклонения реального количества простых чисел от его среднего приближения. Так школьное разложение числа на множители связано и с доказанной теоремой, и с одной из самых известных нерешённых задач математики.
Частые вопросы
Что такое разложение числа на простые множители?
Это запись числа в виде произведения только простых чисел. Например, 60 = 2·2·3·5. Простые числа делятся лишь на 1 и на себя, поэтому дальше их не разложить. У каждого натурального числа больше единицы такой набор множителей единственный — меняется только порядок их записи.
Как разложить число на простые множители?
Делите число на наименьшее подходящее простое число и повторяйте с результатом, пока не дойдёте до единицы. Например: 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1. Множители-делители 2, 2, 3, 5 и дают разложение 60 = 2·2·3·5.
Можно ли разложить простое число на множители?
Простое число уже само является множителем — его «разложение» состоит из него одного. Например, 7 = 7, а 13 = 13. Разбить простое число на меньшие натуральные множители, отличные от 1, нельзя: оно делится только на 1 и на себя.
Зачем нужно разложение на простые множители?
В школе разложение помогает находить НОД и НОК, сокращать дроби и приводить их к общему знаменателю. В RSA трудность разложения правильно выбранного большого модуля на простые множители важна для защиты секретного ключа. Но не всякое большое число трудно разложить, и одна только факторизация не описывает безопасность банковского платежа или сайта: она зависит и от протокола, параметров и реализации.
Чем простые множители отличаются от делителей?
Положительные делители — все натуральные числа, на которые данное число делится без остатка: у 12 это 1, 2, 3, 4, 6, 12. Простые множители входят в запись 12 = 2·2·3. Для составления других делителей выбирают нужные множители, не превышая число их повторений; делитель 1 соответствует пустому произведению.
Проверьте себя
Разложите 36 на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Разложите 84 на простые множители.
84 = 2 * 2 * 3 * 7.
Почему 1 не пишут в разложении на простые множители?
Потому что 1 не является простым числом и не меняет произведение.
Что изучать дальше
После разложения чисел полезно перейти к НОД, НОК и сокращению дробей. Страницы ниже посвящены связанным приёмам; для регистрации на платформе можно создать аккаунт STEMskills.