В математических задачах шахматная доска становится сеткой клеток: нужно доказать, можно ли покрыть её фигурами, расставить их без пересечений или пройти между клетками за заданное число ходов. Ниже два разобранных примера и три задачи для самостоятельной проверки. Правила каждой задачи заданы отдельно; знать шахматные дебюты не требуется.
Сначала зафиксируйте правила доски
Обозначим столбцы буквами A, B, C, D слева направо, строки числами снизу вверх. Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону. Домино 1×2 закрывает ровно две такие клетки; его можно повернуть, но нельзя наложить на другое домино или выйти за край. Ладьи в наших задачах не перемещаются: они лишь не должны стоять в одной строке или одном столбце. Конь, напротив, делает один ход на две клетки в одном направлении и на одну в перпендикулярном; каждый промежуточный и конечный пункт должен оставаться на доске.
Если правило зависит от цвета клетки, его основы есть в статье о чётности чисел. Здесь цвет нужен как инструмент доказательства конкретной невозможности, а не как самостоятельная тема.
Пример 1. Почему 14 клеток не всегда покрываются семью домино
Возьмём доску 4×4 и удалим клетки A1 и D4. Можно ли покрыть все оставшиеся клетки семью домино 1×2 по правилам выше? По площади ответ пока не ясен: 16 − 2 = 14 и 14 : 2 = 7. Семь домино было бы достаточно по количеству клеток, но это только необходимое условие. Если нужен сам принцип подсчёта площади по клеткам, он разобран в статье о площади квадрата.
Раскрасим доску через одну клетку. A1 и D4 имеют одинаковый цвет: при переходе из A1 в D4 меняются и столбец, и строка на три шага. У полной доски по восемь клеток каждого цвета, после удаления остаётся шесть клеток этого цвета и восемь другого. Любое домино по общей стороне всегда закрывает по одной клетке каждого цвета. Семь домино закрыли бы семь и семь клеток, а не шесть и восемь. Поэтому покрытие невозможно. Цветовой баланс тоже лишь необходимое условие: когда цвета поровну, расположение ещё надо построить или доказать отдельно.
Пример 2. Сколько ладей можно поставить без взаимного боя
На доске 5×5 поставим ладьи так, чтобы две ладьи не делили ни строку, ни столбец. Больше пяти поставить нельзя: строк всего пять, а шестая ладья обязательно разделила бы строку с одной из прежних. Пять поставить можно: A1, B2, C3, D4, E5. У каждой ладьи своя строка и свой столбец. Значит, максимум равен пяти. Здесь доказательство состоит из двух частей: верхняя граница и явная расстановка, достигающая её.
Попробуйте сами
Перед раскрытием ответа отметьте, доказываете ли вы невозможность или строите пример. В каждой задаче правила действуют только на указанной доске.
1. Доска 4×4 без A1 и B1: можно ли покрыть её семью домино?
Ответ: да. В нижней строке остались C1 и D1; накройте их одним горизонтальным домино. В каждой из строк 2, 3 и 4 положите ещё по два: A–B и C–D. Получится 1 + 3·2 = 7 домино, все 14 оставшихся клеток закрыты ровно по одному разу. Если вы остановились на подсчёте «семь домино», добавьте явную укладку: площадь сама по себе не доказывает существование покрытия.
2. Сколько максимум ладей без взаимного боя поместится на доске 3×4?
Ответ: три. Больше нельзя, потому что есть лишь три строки. Три можно поставить, например, на A1, B2 и C3: строки и столбцы у них различны. Если получился ответ четыре, проверьте ограничение по меньшему из двух размеров, а не только число столбцов.
3. Конь на доске 4×4: можно ли перейти из A1 в D4 ровно за три хода?
Ответ: нет; за два хода можно. Каждый ход коня меняет цвет клетки, потому что сумма изменений столбца и строки по модулю 2 нечётна. A1 и D4 одного цвета; после трёх ходов конь оказался бы на другом цвете. Два хода дают маршрут A1 → B3 → D4: разности координат соответственно (1, 2) и (2, 1), обе допустимы и все клетки внутри доски. Если вы указали только смену цвета, добавьте маршрут для утверждения «за два можно»; если нарисовали маршрут, отдельно проверьте требуемые именно три хода.
В каждой задаче сначала проверьте необходимые ограничения: число клеток, строки и столбцы, смену цвета. Если они не запрещают ответ, ищите конструкцию. На практике тот же порядок полезен при планировании клеточной мозаики: подсчёт плиток не гарантирует укладку без дыр и наложений. Для смежной практики с площадями и решётчатой геометрией посмотрите курс «Планиметрия». Задачи про ладей и коня из этой подборки остаются здесь.