Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, сначала убедитесь, что при этом числе определены обе части исходного уравнения. Затем подставьте число в исходную запись, отдельно вычислите левую и правую части и сравните их: если значения равны, кандидат подходит; если нет или выражение не определено, его нужно отбросить.
Что именно проверяет подстановка
Решение уравнения часто даёт несколько кандидатов. Проверка отвечает на вопрос о каждом из них, а не ищет все корни заново. При переносе членов и других равносильных преобразованиях проверка ловит прежде всего вычислительную ошибку. После возведения в квадрат или умножения на выражение с переменной она ещё и отсекает числа, которые подходят только преобразованному уравнению. Проверка одного или нескольких найденных чисел не доказывает, что других корней нет: для полноты нужно проследить за шагами решения.
На практике такой контроль нужен, например, когда найденное время движения подставляют обратно в уравнение пути: числовое равенство обнаружит ошибку в вычислении кандидата, а смысл условия дополнительно исключит отрицательное время. Это проверка конкретного ответа модели, а не способ перечислить все возможные времена.
Кандидат подходит: сравните обе стороны
В первом примере нужно проверить число 4 для уравнения 3(x − 1) + 2 = x + 7. Ограничений на x здесь нет. Левая часть при x = 4 равна 3 · (4 − 1) + 2 = 11, правая равна 4 + 7 = 11. Получилось 11 = 11, значит, 4 — корень. Такую короткую запись удобнее проверять, чем одинокую галочку рядом с ответом.
Но простое равенство после подстановки ещё не заменяет проверку области определения. В дробном уравнении при запрещённом знаменателе нельзя объявить число корнем, даже если оно появилось после избавления от дробей.
Когда кандидат оказывается посторонним
Рассмотрим исходное уравнение (x − 2)/(x − 2) = 1. Оно определено только при x ≠ 2. Если умножить обе части на x − 2, получится x − 2 = x − 2: этому равенству формально подходит и x = 2. Но в исходной дроби при x = 2 знаменатель равен нулю. Число 2 нужно отбросить, а все остальные действительные числа подходят. Здесь проверка начинается с допустимости, ещё до сравнения сторон.
Бывает и другая ловушка. Из √(x + 1) = x − 1 после возведения в квадрат получаем x + 1 = (x − 1)², откуда x(x − 3) = 0 и кандидаты 0 и 3. Для x = 0 подкоренное выражение допустимо, но исходное равенство даёт √1 = −1, то есть 1 ≠ −1. Для x = 3 оно даёт √4 = 2, а справа 3 − 1 = 2. Ответ здесь только 3. Поэтому одного условия x + 1 ≥ 0 недостаточно: нужно сравнить значения исходных частей.
Возведение в квадрат стирает различие между 1 и −1: их квадраты равны. Обратный вывод без дополнительной проверки неверен. Точно так же проверка только преобразованного уравнения ничего не скажет о постороннем кандидате. Вернитесь к первой строке задачи и вычислите обе стороны заново.
Проверьте три кандидата самостоятельно
Для каждого задания сначала решите, можно ли подставлять указанное число, а потом запишите два числовых значения. Раскройте решение после своей попытки.
1. Является ли x = −2 корнем 2x + 5 = x + 3?
Обе стороны определены при любом x. Левая: 2 · (−2) + 5 = 1. Правая: −2 + 3 = 1. Значения равны, значит, −2 — корень.
2. Можно ли принять x = 4 для (x − 4)/(x − 4) = 1?
Нет. При x = 4 знаменатель исходной дроби равен нулю, поэтому левая часть не определена. Равенство x − 4 = x − 4, полученное после умножения, не делает 4 корнем.
3. Подходит ли x = 0 для √(x + 4) = x − 2?
Подкоренное выражение при x = 0 равно 4, значит, число допустимо. Левая часть исходного уравнения равна 2, правая равна −2. Получилось 2 ≠ −2: кандидат посторонний, хотя после возведения в квадрат обе стороны дали бы 4.
Если вы проверяете ответ после решения, держите рядом исходную запись и все найденные кандидаты: ни один нельзя пропустить. Для общей картины о способах нахождения корней есть отдельная статья; линейные уравнения показывают равносильные шаги решения. Если нужна смежная практика со степенями и корнями, откройте раздел «Степени и корни»; наличие в нём конкретного упражнения на эту проверку здесь не обещается.