Степени и корни

Откройте для себя закономерности повторного умножения и узнайте, как рождаются степени числа.

Освойте экспоненциальную запись как способ сокращения повторного умножения.

Поймите, что такое основание степени, и научитесь определять его по паттерну роста.

Изучите особые случаи: 0^n, 1^n и a^1 — и научитесь применять их в выражениях.

Изучите степени числа 10 и их связь с нашей десятичной системой счисления.

Исследуйте паттерн степеней двойки на числовой прямой.

Научитесь находить степени двойки, используя числовую прямую.

Перенесите навык работы со степенями двойки на основание 3.

Находите степени 10 на числовой прямой и работайте с кратными.

Определяйте порядок величины числа по количеству его цифр.

Решайте задачи с произвольными основаниями (4, 5, 7) на числовой прямой — без вычисления больших чисел.

Исследуйте масштаб разницы между миллионом и миллиардом через степени 10.

Изучите чередование степеней числа -1: чётные степени дают 1, нечётные — -1.

Научитесь определять знак степени отрицательного числа по чётности показателя.

Узнайте, как скобки меняют значение выражений со степенями отрицательных чисел.

Откройте для себя квадраты чисел и понятие полного квадрата.

Визуализируйте полные квадраты на числовой прямой и найдите числа между ними.

Познакомьтесь с квадратными корнями как обратной операцией к возведению в квадрат.

Научитесь оценивать квадратные корни, которые не являются целыми числами.

Откройте для себя взаимную обратность квадрата и квадратного корня.

Поймите связь между квадратами отрицательных чисел и знаком квадратного корня.

Откройте для себя кубы чисел и поймите, почему куб отрицательного числа отрицателен.

Решайте задачи о покраске куба и открывайте формулу внутренних кубиков.

Находите кубы на числовой прямой и сравнивайте соседние полные кубы.

Познакомьтесь с кубическими корнями, включая корни из отрицательных чисел.

Изучите свойство обратности куба и кубического корня: $\sqrt[3]{n^3} = n$ и $(\sqrt[3]{n})^3 = n$.

Научитесь вычислять корни 4-й, 5-й и 6-й степени.

Поймите, что порядок операций влияет на результат выражения.

Поймите, что степень применяется только к выражению непосредственно перед ней.

Научитесь вычислять выражения со степенями, корнями и умножением в правильном порядке.

Освойте порядок действий: степени и корни перед сложением и вычитанием.

Поймите, что знак корня группирует выражение так же, как скобки.

Применяйте полный порядок действий к выражениям со всеми типами операций.

Освойте принцип вычисления вложенных групп изнутри наружу.

Научитесь вычислять выражения с вложенными корнями и степенями.

Поймите, что дробная черта — это группирующий символ, требующий вычисления числителя и знаменателя отдельно.

Вычисляйте сложные выражения, объединяющие все типы операций и группировок.

Научитесь масштабировать квадратные корни на числовой прямой и складывать их кратные.

Складывайте и вычитайте подобные слагаемые с квадратными корнями, комбинируя коэффициенты.

Свяжите площадь квадрата с длиной его стороны через квадратный корень.

Используйте тождество (√n)² = n, чтобы перемножать выражения с одинаковым корнем.

Освойте правило √a·√b = √(ab) и применяйте его для вычисления произведений корней.

Сворачивайте и упрощайте квадратные корни, вынося множители, являющиеся полными квадратами.

Упрощайте корни перед сложением, чтобы обнаружить подобные слагаемые среди непохожих корней.

Узнайте, что при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

Научитесь применять правило произведения степеней к выражениям с несколькими основаниями.

Узнайте, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Узнайте, что степень произведения равна произведению степеней каждого множителя.

Узнайте, что степень дроби равна степени числителя, делённой на степень знаменателя.

Совмещайте правило степени произведения с правилом возведения степени в степень.

Применяйте правило степени произведения в обратную сторону, объединяя степени с одинаковым показателем.

Откройте правило нулевого показателя степени и научитесь применять его в вычислениях.

Найдите нулевой показатель степени на числовой прямой через деление пополам и на основание.

Убедитесь, что правило нулевого показателя согласуется с правилом произведения степеней.

Разберитесь, почему выражение 0 в нулевой степени остаётся неопределённым.

Откройте, что отрицательный показатель степени переносит основание в знаменатель дроби.

Разместите степени с показателями 0 и отрицательными на числовой прямой и обобщите правило деления на основание.

Примените правило произведения степеней к отрицательным показателям.

Узнайте, что единичная дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в положительной степени.

Обобщите правило: любая дробь в отрицательной степени равна перевёрнутой дроби в положительной степени.

Свободно вычисляйте выражения с отрицательными показателями и находите пропущенный показатель.

Освойте правило частного для деления степеней с одинаковым основанием — вычитайте показатели степеней.

Примените правило частного, когда показатель в знаменателе больше — и получите отрицательные показатели степени.

Узнайте, что деление на число с отрицательным показателем степени равносильно умножению с положительным показателем.

Упрощайте дроби с несколькими основаниями, применяя правила произведения и частного к каждому основанию отдельно.

Научитесь раскладывать составные числа на множители и узнайте, что такое простое число.

Научитесь записывать разложение числа на простые множители в виде произведения степеней.

Узнайте, почему $10^n = 2^n \cdot 5^n$, и научитесь быстро раскладывать числа с нулями на конце.

Научитесь умножать числа через их разложения на простые множители, складывая показатели степеней.

Научитесь делить числа через их разложения на простые множители, вычитая показатели степеней.

Откройте, что возведение в степень ½ — это извлечение квадратного корня.

Убедитесь, что $b^{\frac12}\cdot b^{\frac12}=b$ согласуется с правилами действий со степенями.

Распространите идею $b^{\frac12}=\sqrt{b}$ на кубический корень и корень четвёртой степени.

Обоснуйте $b^{\frac1n}=\sqrt[n]{b}$ через правило возведения степени в степень.

Научитесь переписывать $b^{\frac{p}{r}}$ как $\left(\sqrt[r]{b}\right)^p$ и вычислять такие выражения.

Убедитесь, что $b^{\frac{p}{r}}$ можно вычислять в любом порядке: сначала корень или сначала степень.

Записывайте числа как произведение цифры и степени десяти, и научитесь сравнивать их величину.

Узнайте, как умножение на степень десяти сдвигает десятичную запятую, и научитесь переводить числа в стандартный вид.

Складывайте числа в стандартном виде и узнайте, как порядок величины определяет значение суммы.

Перемножайте числа в стандартном виде: умножайте коэффициенты и складывайте показатели степеней десяти.

Оценивайте произведения чисел, округляя коэффициенты и указывая только порядок величины результата.

Делите числа в стандартном виде: делите коэффициенты и вычитайте показатели степеней десяти.

Оценивайте частные чисел, округляя коэффициенты и указывая только порядок величины результата.