Векторы

Выражайте векторы через стандартные базисные векторы e₁ и e₂

Изучите, какие векторы можно получить комбинированием коллинеарных векторов

Найдите коэффициенты линейной комбинации двух неколлинеарных векторов

Складывайте векторы скоростей лодки и течения для нахождения скорости относительно берега.

Разложите скорости с курсовым углом и модулем на восточную/северную компоненты и сложите.

Находите относительную скорость через вычитание векторов: $\vec{v}_{B/A} = \vec{v_B} - \vec{v_A}$.

Находите восточную и северную компоненты скорости по курсовому углу: $v_E=|v|\sin\beta$, $v_N=|v|\cos\beta$.

Находите путевую скорость и курсовой угол результирующей скорости через теорему Пифагора и арктангенс.

Складывайте векторы в полярной форме, разложив их на компоненты.

Находите компоненты вектора, когда угол задан не от оси x, а от другой оси.

Вычислите $x$- и $y$-компоненты вектора по его модулю и полярному углу.

Узнайте, что площадь единичного квадрата после преобразования равна модулю определителя.

Составляйте матрицу по образам базисных векторов и узнайте, что определитель треугольной матрицы — произведение её диагональных элементов.

Выведите общую формулу определителя $ad-bc$ геометрически через разбиение площадей.

Применяйте формулу $ad-bc$ к любым матрицам и связывайте $|\det|$ с масштабированием площади.

Узнайте, что $\det(M)=0$ тогда и только тогда, когда столбцы матрицы — скалярные кратные друг друга.

Узнайте, что перестановка столбцов меняет знак определителя, а площадь всегда равна $|\det|$.

Найдите угол между векторами с помощью скалярного произведения.

Вычислите скалярное произведение через модули векторов и угол между ними.

Вычисляйте скалярное произведение любых векторов и находите недостающие компоненты.

Убедитесь, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Убедитесь, что скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его модуля.

Узнайте, как масштабирование вектора влияет на скалярное произведение.

Узнайте, что делает обратная матрица, и научитесь находить обратную к диагональной матрице.

Откройте тождество A⁻¹A = I и используйте его, чтобы находить обратную к матрицам сдвига.

Выведите общую формулу обратной матрицы 2×2 из тождества A⁻¹A = I.

Научитесь механически вычислять обратную матрицу 2×2 через определитель и присоединённую матрицу.

Поймите, почему матрица с нулевым определителем сжимает плоскость в прямую и не имеет обратной.

Стройте линейные комбинации как диагонали параллелограмма

Вычисляйте линейные комбинации покомпонентно

Находите координаты линейных комбинаций двух векторов и видите их на косой сетке

Находите точки на отрезке между концами двух векторов через линейную интерполяцию

Находите недостающие компоненты и скаляры в уравнениях линейных комбинаций

Умножение вектора на отрицательный скаляр — длина и смена направления

Умножайте вектор на скаляр и находите недостающий множитель

Вычислите полярный угол вектора по его x- и y-компонентам.

Находите полярные углы вне первого квадранта с помощью опорного острого угла.

Используйте арктангенс для нахождения полярных углов и поймите его ограниченный диапазон.

Находите модуль и направление вектора ($\tan\theta$) по его компонентам.

Измеряйте близость единичных векторов через угол и расстояние между остриями.

Кодируйте линейные преобразования как матрицы из образов базисных векторов

Применяйте матрицу к вектору как линейную комбинацию её столбцов

Восстанавливайте матрицу преобразования по геометрическому описанию фигуры

Стройте диагональные матрицы растяжений по горизонтали и вертикали

Стройте матрицы поворотов и отражений, сохраняющих конгруэнтность фигур

Стройте матрицы горизонтальных и вертикальных сдвигов

Распознавайте матрицы, схлопывающие плоскость на прямую

Примените два преобразования по очереди и убедитесь, что порядок влияет на результат

Объедините два линейных преобразования в одну матрицу

Убедитесь, что произведение матриц AB равнозначно применению сначала B, а затем A

Убедитесь, что A² и A³ дают тот же эффект, что двух- и трёхкратное применение A

Узнайте, как умножение матриц применяет преобразование сразу к набору векторов.

Узнайте правило размеров матриц при умножении и научитесь определять размер произведения.

Потренируйтесь согласовывать размеры матриц для умножения и находить неизвестные элементы произведения.

Познакомьтесь с единичной матрицей — матричным аналогом числа 1 — и её ключевым свойством IA = AI = A.

Вычисляйте произведение матрицы на вектор покомпонентно и как линейную комбинацию столбцов.

Собирайте несколько заданных векторов в одну матрицу по столбцам.

Складывайте и вычитайте матрицы поэлементно, находите пропущенный элемент в уравнении.

Умножайте матрицу на скаляр поэлементно и связывайте это с растяжением векторов.

Вспомните, как находить точку пересечения двух прямых — решение системы линейных уравнений

Переводите системы линейных уравнений в матричные уравнения и обратно

Решайте системы уравнений подстановкой и связывайте их с преобразованиями и матричными уравнениями

Решайте системы уравнений, умножая вектор правой части на обратную матрицу коэффициентов

Находите образы базисных векторов при гомотетии, растяжении, повороте и отражении

Находите образы базисных векторов и произвольных векторов при линейном преобразовании

Записывайте преобразованные векторы как линейные комбинации преобразованных базисных векторов

Стройте преобразованные векторы, используя шаги вдоль преобразованных базисных векторов

Записывайте преобразованные векторы с дробными компонентами как линейные комбинации

Вывод формулы скалярного произведения через единичные векторы и теорему Пифагора.

Узнайте, как масштабирование вектора изменяет его модуль.

Узнайте, что скалярное произведение единичных векторов равно cos θ.

Научитесь нормировать вектор, чтобы получить единичный вектор.

Найдите компоненты вектора по его модулю и полярному углу.

Стройте разности векторов геометрически, используя противоположный вектор и метод «хвост к острию».

Найдите противоположные векторы, отменяющие сдвиги, и откройте нулевой вектор.

Поймите разности векторов как недостающие слагаемые и стрелки между остриями векторов.

Вычитайте векторы покомпонентно: $\vec{v_1}-\vec{v_2}=\vec{v_1}+(-\vec{v_2})$.

Научитесь строить суммы векторов методом «хвост к острию» и правилом параллелограмма.

Сложение векторов объединяет их сдвиги, и порядок слагаемых не важен.

Складывайте векторы, суммируя соответствующие компоненты по отдельности.

Поймите векторы как параллельные переносы плоскости и запишите их в виде пар компонент.