Координатные преобразования

Перенос точек на сетке: сдвиг вправо и вверх по вектору (a, b)

Горизонтальный и вертикальный перенос точек через прибавление константы к координатам

Один вектор переносит каждую вершину фигуры одновременно — форма и размеры сохраняются

Последовательные переносы складываются в один: векторы переносов суммируются покомпонентно

Знак константы переноса определяет направление: отрицательная — влево или вниз

Каждый перенос можно отменить: перенос на (a,b) обращается переносом на (-a,-b)

Подберите вектор переноса, чтобы все точки попали в целевую область. Откройте, что у такой задачи бывает несколько правильных ответов.

Вектор (a,b) сдвигает каждую вершину фигуры: прибавить a к x-координате и b к y-координате

Узнайте, как поворот против часовой стрелки связан с поворотом по часовой: $+90° \equiv -270°$, $+270° \equiv -90°$.

Визуально поворачивайте точки вокруг начала координат на ±90° и ±270°, открывая связь между знаком угла и направлением.

Откройте правило (x,y)→(−x,−y) через конкретные примеры и примените его к повороту фигуры

Откройте правило (x,y)→(−y,x) через конкретные примеры и научитесь применять его к любым точкам

Синтез трёх правил поворота: 180°, 270° и 90° против часовой стрелки — выбор формулы по углу и применение к фигуре

Откройте правило (x,y)→(y,−x) через конкретные примеры и примените его к повороту фигуры

Центр поворота может находиться в любой точке плоскости — на самой фигуре или рядом с ней.

Последовательное применение поворота и переноса для совмещения фигуры с целью на плоскости.

Выбирая центр поворота вне фигуры, можно одним поворотом переместить её в любое место плоскости.

Стратегия «перенос → поворот»: сначала переносим фигуру так, чтобы у неё с целью появилась общая вершина, затем поворачиваем вокруг этой точки до совпадения.

Два поворота на 180° вокруг двух точек равны одному диагональному переносу.

Два последовательных поворота вокруг одной точки равны одному повороту на сумму углов.

Два поворота вокруг разных точек, сумма углов которых равна 360°, дают перенос.

Поворот и перенос сохраняют ориентацию, а отражение меняет порядок обхода соответствующих вершин.

Два поворота на 180° вокруг точек, лежащих на одной горизонтали или вертикали, дают чистый перенос вдоль оси.

Повороты на 180° и 90° против часовой стрелки на координатной сетке — без формул, через геометрическую интуицию.

Два поворота на 180° вокруг разных точек равны параллельному переносу фигуры.

Отражайте точки относительно осей координат и откройте правила знаков

Отражайте точки относительно вертикальных, горизонтальных и диагональных прямых

Найдите ось отражения и научитесь записывать её уравнение: y=0, x=0, x=a, y=x.

Подберите ось отражения, чтобы все точки попали в целевую область. Откройте свойство неподвижности точек на оси.

Повторное отражение относительно той же прямой возвращает фигуру в исходное положение — любое отражение является обратным самому себе.

По положению фигуры и её образа определите ось отражения, находя середины пар соответствующих вершин.

Откройте правило знаков для отражений относительно осей координат

Выбирайте ось отражения по виду фигуры и записывайте соответствующую координатную формулу

Откройте правило обмена координат при отражении относительно главной диагонали

Примените правило отражения точки к каждой вершине фигуры

Откройте правило антидиагонального отражения: координаты меняются местами и обе меняют знак

Два последовательных отражения относительно параллельных прямых дают параллельный перенос фигуры.

Два последовательных отражения относительно перпендикулярных прямых равны повороту на 180°.

Два отражения относительно прямых под углом 45° дают поворот на 90°. Порядок определяет направление.

Два отражения относительно перпендикулярных прямых x=h и y=k эквивалентны повороту на 180° вокруг точки (h, k).

Два отражения относительно прямых, пересекающихся под углом 45°, эквивалентны повороту на 90° вокруг точки их пересечения.

Две фигуры конгруэнтны, если одну можно совместить с другой с помощью переносов, поворотов и отражений.

Докажите конгруэнтность фигур, построив цепочку поворотов, отражений и переносов, совмещающую их.

Откройте 2-кратную и 4-кратную поворотную симметрию через повороты фигур на координатной плоскости.

Найдите ось симметрии фигуры: вертикальную, горизонтальную или диагональную.

Определяйте, обладает ли фигура поворотной симметрией, осевой или обоими видами сразу.

Откройте, как для фигур с осевой симметрией заменить отражение поворотом или переносом.

Гомотетия умножает расстояние каждой точки от начала координат на постоянный коэффициент k.

Гомотетия фигуры — это та же формула (x, y) → (kx, ky), применённая ко всем вершинам сразу.

Гомотетия смещает центр фигуры; параллельный перенос возвращает его на место — вместе они дают формулу (x,y)→(kx+Δx, ky+Δy).

Две последовательные гомотетии с обратными коэффициентами дают параллельный перенос фигуры.

Центр гомотетии может быть любой точкой плоскости. Если поставить его в центр фигуры — фигура масштабируется на месте.

Выбирая центр гомотетии, можно одной гомотетией совместить исходные точки с заданными целями. Найдите правильную пару (центр, k).

Определяйте подобные фигуры, отличая гомотетию и допустимые преобразования от тех, что разрушают подобие.

Докажите подобие фигур, явно указав композицию переноса, поворота, отражения и гомотетии, переводящую одну фигуру в другую.

Откройте, какие преобразования сохраняют конгруэнтность, а какие — лишь подобие.

Откройте, как растяжение меняет только одну координату точки, и примените это знание к конкретным примерам.

Применяйте растяжение одновременно по x и y и освойте связь с гомотетией.

Растяжение по одной оси может менять форму фигуры так, что результат не подобен исходному. Комбинируйте растяжения с переносами и поворотами.

Комбинируйте растяжение с переносом, поворотом или отражением, чтобы все точки попали в целевую область.