Планиметрия

Исследуйте, как правильный шестиугольник разбивается на равные треугольники, и сравнивайте площади фигур простым подсчётом плиток.

Освойте стратегии решения геометрических головоломок: сдвиг частей в общую рамку, разбиение на равные части и сравнение площадей без формул.

Выводим формулу суммы внутренних углов любого выпуклого n-угольника: $n \cdot 180^\circ - 360^\circ$.

Для каких длин трёх сторон существует треугольник? Изучите неравенство треугольника и его связь с тупоугольными и прямоугольными треугольниками.

Чем отличаются равные и подобные треугольники? Узнайте, когда заданные свойства однозначно задают треугольник, а когда нет.

Откройте для себя треугольник 30-60-90 и узнайте, как описание УСС может задавать ноль, один или два треугольника в зависимости от длины лески.

Разберём парадокс исчезающего квадрата: почему переложенные части «треугольника» 13×5 дают разные площади и как это связано с числами Фибоначчи.

Находите меру внутренних углов правильных многоугольников по формуле 180°(n−2)/n и применяйте симметрию для нахождения вложенных углов.

Разбираемся, каких условий достаточно, чтобы гарантировать правильность многоугольника: равные стороны, равные углы или оба условия сразу.

Вычисляйте площади правильных многоугольников, разбивая их на прямоугольные треугольники и применяя формулу через апофему.

Моделируйте стороны и характерные отрезки правильных многоугольников с помощью спичек, ватных палочек и зубочисток, применяя теорему Пифагора и правило масштабирования.

Изучите звёздчатые формы: когда они существуют, как считать их углы, стороны, площадь и периметр.

Упражняйтесь в решении задач на разрезание и перекройку многоугольников.

Выводим теорему Пика для прямоугольников на целочисленной решётке и доказываем её устойчивость при добавлении единичных квадратов.

Докажем теорему Пика для прямоугольных и произвольных треугольников на целочисленной решётке, используя разрезание прямоугольника.

Докажем, что теорема Пика работает для любого решётчатого многоугольника с помощью триангуляции и склеивания фигур.

Выведем обобщённую формулу площади $S = Q/2 + R$ для решётчатой фигуры с одной дырой — без повторного применения теоремы Пика к каждой части.

Шаг за шагом выводим обобщённую теорему Пика для фигуры с любым числом дыр: A = Q/2 + R + H − 1, и применяем её к примеру.

Освойте базовые аксиомы: смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные углы равны, сумма углов треугольника 180°. Применяйте их для нахождения неизвестных углов в стопках треугольников и параллельных прямых.

Три продвинутых приёма для поиска углов: начинать с искомого угла, проводить вспомогательные прямые и работать с переменными вместо промежуточных вычислений.

Разбейте любой многоугольник на треугольники и выведите формулу суммы внутренних углов $180^\circ \cdot (n-2)$.

Исследуйте ситуации, в которых сумма нескольких углов остаётся постоянной, как бы ни менялась фигура.

Финальный урок-капстоун: объедините все приёмы охоты на углы — суммы углов многоугольников, разбиение на треугольники и свойства правильных многоугольников.

Исследуйте, как бесконечно много уменьшающихся самоподобных фигур складываются в конечную площадь. Три примера: уголки-«Г», вложенные кольца и треугольник по серединам сторон.

Познакомьтесь с красивой геометрией через головоломки на замощение полимино.

Расставьте сторожей так, чтобы каждая точка вогнутых залов галереи была в поле зрения хотя бы одного из них.

Разделите составные фигуры на простые части и найдите их площадь.

Научитесь добавлять вспомогательные линии и сетки, чтобы разбивать сложные составные фигуры на знакомые части и сравнивать их площади.

Находите площадь сложной фигуры как разность площадей простых фигур — приём «дополняющих площадей».

Находите площади сложных областей, прибавляя и вычитая площади кругов, секторов и квадратов — приём включения-исключения.

Исследуйте, какие площади остаются инвариантными при сдвиге вершины или повороте: площадь треугольника зависит только от основания и высоты, поэтому свободное движение вершины её не меняет.

Исследуйте центральные углы и градусные меры дуг: деление окружности на равные части, дополнение до 360°, равнобедренные треугольники из радиусов, вертикальные углы и задачи на пересекающиеся дуги.

Угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда прямой. Докажите это через два равнобедренных треугольника и примените теорему к новым задачам, включая обратное утверждение и построение прямоугольника.

Теорема о вписанном угле: вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Доказательство, следствия и задачи на применение.

Применяйте теорему о вписанном угле к задачам: равные вписанные углы на одной дуге, связь дуги с центральным и вписанным углами, многошаговые цепочки со смежными углами.

Исследуйте свойства вписанных четырёхугольников: суммы противоположных углов, признак вписанности и обратное утверждение.

Познакомьтесь с необычными многоугольниками: вогнутыми, простыми и ортогональными — героями задачи о картинной галерее.

Изучите разницу между выпуклыми и невыпуклыми фигурами и её влияние на охрану галереи.

Выясните, как триангуляция позволяет охранять четырёхугольные и пятиугольные галереи всегда одним сторожем.

Освойте два метода: разбиение на выпуклые части и накрытие правильными многоугольниками — для поиска наименьшего числа сторожей в сложных галереях.

Придумывайте галереи в форме гребёнок, которым требуется как можно больше сторожей.

Докажите и примените теорему Фиска: триангуляция и 3-раскраска вершин любой галереи гарантируют охрану не более чем ⌊n/3⌋ сторожами.

Познакомьтесь с семью вариациями задачи о картинной галерее: внутренние стены, дыры, ортогональные залы, подвижные сторожа и зеркальные стёкла.

Разверните бумажного журавлика и изучите горы и долины, которые открывают складки.

Исследуйте паттерн «гора-долина» при складывании полоски бумаги и откройте связь с драконовой кривой.

Разберитесь, когда одномерный рисунок сгибов можно сложить плоско, откройте локальное правило спирали и докажите, что любой рисунок складок плоско-складываем.

Паттерны складок-гор и складок-долин на круглом листе, модель муравья и необходимое условие плоской складываемости (теорема Кавасаки).

Полный критерий плоской складываемости и алгоритм разметки горных и долинных складок для схем с одной вершиной.

Разбивайте произведения на удобные части и выводите формулу квадрата суммы.

Применяйте разность квадратов для вычислений, преобразований и разложения на множители.

Трудные геометрические задачи из разных тем: сравнение долей, разбиение фигур, окружности, объёмные тела и площади. Применяйте набор стратегий — разбивайте, двигайтесь назад, упрощайте.

Приёмы дополняющих площадей, отношений и длин окружностей в сложных составных задачах.

Применяйте формулу середины отрезка, работайте с координатами и сдвигами на координатной плоскости.

Пять многошаговых задач на поиск углов: линейные пары, вертикальные углы, равнобедренные треугольники, алгебраические уравнения и полный угол вокруг точки.

Применяйте теорему Пифагора в составных фигурах, считайте возможные конфигурации сторон и стройте вспомогательные треугольники на сетке.

В каких из этих случаев можно полностью покрыть шахматную доску домино?

Подсчитайте замощения прямоугольника $2\times n$ домино и откройте последовательность Фибоначчи.

Шагните дальше домино и решите задачи с тетрамино и пентамино!

Применяйте идею площади и реальной укладки, чтобы разгадывать нетривиальные задачи с полимино.

Что можно замостить X-пентомино?

Рассуждайте о замощении прямоугольных участков пентамино с помощью логических аргументов.

Узнайте, когда фигуру можно замостить полимино, и найдите способы разрезать фигуру на равные конгруэнтные части.

Откройте для себя «степень точки»: когда две хорды, секущие или касательные связаны с одной окружностью, возникают подобные треугольники, из которых следуют мощные формулы для произведений отрезков.

Докажите теорему о пересекающихся секущих: угол между хордами внутри окружности равен полусумме двух высекаемых дуг. Узнайте, как меняется формула при пересечении вне окружности.

Финальная практика секции: пересекающиеся хорды, вписанные углы, степень точки для длин и доказательства с параллелограммами. Задачи-ассорти по всем теоремам об окружности.

Выведите формулу касательной и научитесь применять её для нахождения углов и дуг.

Итоговый практикум: комбинируйте теоремы об окружности — вписанные углы, степень точки, касательные и секущие — для решения многошаговых задач.

Исследуйте, какие правильные многоугольники могут замощать плоскость, и узнайте, почему таких замощений ровно три.

Изучите полуправильные (архимедовы) замощения: из каких правильных многоугольников они состоят и как проверить, что сумма углов в каждой вершине равна 360°.

Превращайте простые фигуры в причудливые тайлы для создания новых видов замощений.

Изучите монотипное замощение нерегулярными многоугольниками: теоремы о треугольниках, четырёхугольниках и пятиугольниках.

Исследуйте фигуры, которые складываются в увеличенные копии самих себя.

Узнайте, как вычислять суммы бесконечных рядов дробей с помощью геометрических построений.

Изучите три главных центра треугольника — ортоцентр, инцентр и центроид — и исследуйте их свойства на особых случаях: прямоугольный и равносторонний треугольники.

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, равноудалённая от вершин треугольника. Знакомство с ортоцентром и их связью через срединный треугольник.

Докажите, что центроид, ортоцентр и центр описанной окружности любого треугольника лежат на одной прямой — прямой Эйлера. Примените отношение 2:1 к вычислению длин и разберите частные случаи.

Трисектрисы углов любого треугольника образуют равносторонний треугольник. Проследите доказательство «обратного хода»: от равностороннего XYZ к произвольному большому треугольнику.

Теорема Пифагора, подобие прямоугольных треугольников и особые треугольники 45-45-90 и 30-60-90 с применением к составным задачам.

Объедините теорему Фалеса и теорему Пифагора для вычисления площади окружности. Научитесь классифицировать треугольники (по углам и сторонам) и понимать, как тип треугольника ABC зависит от положения вершины C.

Что такое чевиана и её частные случаи: высота, медиана, биссектриса. Изучите их свойства и теорему о биссектрисе.

Исследуем, какие типы треугольников можно и нельзя построить на квадратных и круглых досках с гвоздиками. Теорема Фалеса объясняет прямоугольные треугольники; кратность числа гвоздиков трём — равносторонние.