Чётное целое число делится на 2 без остатка и имеет вид 2k. Нечётное даёт остаток 1 и имеет вид 2k+1, где k — любое целое число. Например, 18=2·9 — чётное, а 19=2·9+1 — нечётное.
В десятичной записи достаточно посмотреть на последнюю цифру. Число чётное, если оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8; нечётное — если на 1, 3, 5, 7 или 9. Это правило работает для положительных, отрицательных и сколь угодно длинных целых записей.
Какое число называется чётным, а какое нечётным
Каждое целое число попадает ровно в один из двух классов:
- чётные: …, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, … — числа вида 2k;
- нечётные: …, −5, −3, −1, 1, 3, 5, … — числа вида 2k+1.
Ноль — чётный: 0=2·0. Отрицательные числа тоже имеют чётность: −8=2·(−4), а −7=2·(−4)+1. Знак не меняет последнюю цифру модуля числа и не меняет остаток по модулю 2.
Чётная цифра и чётное число — не одно и то же. В числе 1234 есть нечётные цифры 1 и 3, но всё число чётное, потому что последняя цифра 4. Подробнее место этого правила среди других проверок разобрано в материале о признаках делимости.
Почему достаточно последней цифры
Модуль любого целого числа в десятичной записи можно представить как |n| = 10q + d, где q — неотрицательное целое, а d — последняя цифра. Число 10q чётно, потому что 10q = 2·(5q). Значит, чётность |n| совпадает с чётностью d. Смена знака не меняет делимость на 2, поэтому правило последней цифры работает и для отрицательных целых. У записи из 120 цифр проверка такая же короткая, как у двузначного числа.
Пример. Число −9 876 заканчивается цифрой 6, значит оно чётное. Проверка: −9876=2·(−4938).
Чётность как остаток по модулю 2
Запись a≡0 (mod 2) означает, что a даёт остаток 0 и является чётным; a≡1 (mod 2) означает нечётность. Для прогноза результата можно заменить большие числа только их остатками:
| Операция с остатками | Остаток результата | Чётность |
|---|---|---|
| 0+0 | 0 | чётная |
| 0+1 или 1+0 | 1 | нечётная |
| 1+1 | 0, потому что 2 делится на 2 | чётная |
| 0·0, 0·1 или 1·0 | 0 | чётная |
| 1·1 | 1 | нечётная |
Эта таблица не требует знать сами числа. Например, у 7 999 999 и 20 000 разные остатки: 1 и 0. Поэтому их сумма нечётна, а произведение чётно.
Сложение и вычитание
| Чётность чисел | Сумма | Разность |
|---|---|---|
| чётное и чётное | чётная | чётная |
| чётное и нечётное | нечётная | нечётная |
| нечётное и чётное | нечётная | нечётная |
| нечётное и нечётное | чётная | чётная |
Проверим последнее правило алгебраически. Пусть a=2k+1 и b=2m+1. Тогда a+b=2(k+m+1), а a−b=2(k−m). Оба результата имеют вид 2n и потому чётны.
Для нескольких слагаемых удобно считать только количество нечётных. Если оно чётно, сумма чётна; если нечётно, сумма нечётна. Например, сумма семи нечётных чисел нечётна: шесть можно собрать в три пары с чётной суммой, и останется одно нечётное.
То же правило работает, если среди слагаемых есть чётные: они не меняют остаток суммы по модулю 2. Поэтому чётность суммы полностью определяется количеством нечётных слагаемых. Например, среди 12 слагаемых пять нечётных; сумма нечётна независимо от значений остальных семи чётных чисел.
Почему сумма первых нечётных чисел даёт квадрат
Последовательные нечётные числа образуют заметный узор: 1=12, 1+3=4=22, 1+3+5=9=32. В общем виде сумма первых n положительных нечётных чисел равна n2:
1+3+5+…+(2n−1)=n2.
Это можно увидеть геометрически. Один квадрат даёт фигуру 1×1. Чтобы превратить квадрат со стороной n−1 в квадрат со стороной n, к нему добавляют Г-образную полосу из 2n−1 клеток: n клеток вдоль одной стороны и n−1 вдоль другой. Поэтому каждый следующий нечётный член увеличивает площадь ровно до следующего квадрата.
Есть и алгебраическая проверка шага: если сумма первых n−1 нечётных чисел равна (n−1)2, то после добавления следующего числа 2n−1 получаем (n−1)2+2n−1=n2.
Умножение и степени
- Если хотя бы один множитель чётный, произведение чётно.
- Произведение нечётных множителей нечётно.
- Положительная целая степень чётного числа чётна, нечётного — нечётна.
Причина видна из форм: (2k)·m=2(km), поэтому одного множителя 2 достаточно. А (2k+1)(2m+1)=2(2km+k+m)+1, то есть произведение двух нечётных снова нечётно.
Пример. Не вычисляя 101·202·303, видим чётный множитель 202. Всё произведение чётно. Аналогично 52026 нечётно, потому что это произведение нечётных пятёрок.
Почему с делением нужна осторожность
Для частного нельзя составить такую же безусловную таблицу. Сначала деление должно дать целое число, а затем его чётность зависит от того, сколько множителей 2 сократилось. Например, 8/2=4 — чётное, но 6/2=3 — нечётное. Одних слов «чётное делим на чётное» недостаточно.
Нечётное число нельзя разделить на чётное с целым результатом: в нечётном нет множителя 2, который нужен чётному делителю. Связь остатка и делимости подробнее объясняется в статье о делении с остатком.
Если делимое и делитель нечётные и частное целое, частное будет нечётным: произведение чётного частного на нечётный делитель было бы чётным и не могло бы дать нечётное делимое. Но для пары «чётное / нечётное» частное при целочисленном делении чётно, а для «чётное / чётное» без дополнительных данных ответа нет.
Как чётность помогает в задачах
Чётность позволяет отбросить лишние вычисления. Замените каждое чётное число остатком 0, нечётное — остатком 1 и выполните действие по модулю 2. Так можно доказать невозможность равенства или заметить величину, которая не меняет чётность.
Пример. Может ли 2a+2b+1 равняться 100 при целых a и b? Левая часть имеет вид 2(a+b)+1 и всегда нечётна, правая часть чётна. Равенство невозможно при любых значениях a и b.
Пример. 10100+351 нечётно: первое слагаемое чётное, второе нечётное, а сумма чисел разной чётности нечётна.
Где чётность применяется
Распределение поровну. Если 24 предмета нужно раздать двум участникам, каждый получит по 12. При 25 предметах один останется, поэтому количество нечётно. Такое представление через пары помогает проверить определение без деления столбиком.
Клетчатые доски и координаты. Раскрасим клетки шахматной доски в два цвета. Цвет клетки с целыми координатами (x, y) определяется чётностью суммы x+y: одинаковая чётность суммы означает одинаковый цвет. Поэтому ход по диагонали, меняющий обе координаты на 1, сохраняет цвет клетки: сумма изменяется на 0, 2 или −2.
Контроль данных. В простейшем коде чётности к последовательности битов добавляют контрольный бит, чтобы общее число единиц было чётным. Если при передаче изменится ровно один бит, число единиц станет нечётным, и ошибка обнаружится. Такой контроль не исправляет данные и не замечает любое чётное количество одновременных искажений, но наглядно показывает практическую работу арифметики по модулю 2.
Задачи для самопроверки
1. Какова чётность числа −12345678901234567890?
Чётное: последняя цифра 0. Знак и длина записи не влияют.
2. Какова чётность суммы семи нечётных чисел?
Нечётная. Шесть слагаемых образуют три пары с чётными суммами, затем остаётся одно нечётное.
3. Может ли сумма двух нечётных чисел быть нечётной?
Нет. (2k+1)+(2m+1)=2(k+m+1), то есть результат чётный.
4. Что можно сказать о произведении, если оно нечётно?
Каждый целый множитель нечётный. Если бы нашёлся чётный, он внёс бы множитель 2 и всё произведение стало бы чётным.
5. Чему равна сумма первых шести положительных нечётных чисел?
Она равна 62=36. Непосредственная проверка: 1+3+5+7+9+11=36.
6. Можно ли разложить 101 монету на пары без остатка?
Нет. Число 101 нечётно, поэтому после образования 50 пар останется одна монета.
7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, если само число нечётно?
Нет. Квадрат нечётного числа — произведение двух нечётных множителей, а такое произведение нечётно. Следовательно, если квадрат целого числа чётный, то и само число чётное.
Правило для отрицательных целых удобно связать с модулем числа: n и |n| имеют одинаковую чётность. Особый случай 0 = 2·0 разобран также в материале о числе ноль.
Частые ошибки
Исключают ноль. Но 0=2·0. Смотрят на все цифры. Для десятичного целого важна только последняя. Переносят правило суммы на произведение. Два нечётных складываются в чётное, но перемножаются в нечётное. Предсказывают частное только по словам «чётное/нечётное». Сначала проверьте целочисленность и сокращение множителей 2.
Частые вопросы
Может ли число быть одновременно чётным и нечётным?
Нет. При делении целого на 2 возможен ровно один остаток: 0 или 1. Поэтому классы не пересекаются и вместе содержат все целые числа.
Почему отрицательное нечётное можно записать как 2k+1?
Потому что k разрешено быть отрицательным. Например, −7=2·(−4)+1. Можно использовать и форму 2k−1; она описывает тот же класс чисел.
Дробь бывает чётной или нечётной?
В школьном определении чётность относится к целым числам. Например, 2,5 не называют ни чётным, ни нечётным, хотя в его записи есть цифры 2 и 5.
Перестановка цифр сохраняет чётность?
Не обязательно. Чётность зависит от последней цифры: 12 чётно, но перестановка 21 нечётна. Для делимости на 3 ситуация другая, потому что там используется сумма цифр.
Как определить чётность суммы, не вычисляя её?
Посчитайте нечётные слагаемые. При чётном их количестве сумма чётна, при нечётном — нечётна. Чётные слагаемые на результат не влияют. Например, в сумме 18+27+42+55 два нечётных слагаемых, поэтому вся сумма чётна.
Верно ли, что сумма первых n нечётных чисел равна n²?
Да, если брать положительные нечётные числа подряд, начиная с 1: 1+3+…+(2n−1)=n2. Каждое очередное число 2n−1 дополняет квадрат (n−1)×(n−1) до квадрата n×n.
Чётность относится к целым числам; связь с другими числовыми множествами можно повторить в статье о натуральных и целых числах. Сохранение чётности в суммах и произведениях связано с делимостью и остатками. Для продолжения посмотрите программу курса по теории чисел.