Компланарные векторы — это векторы, которые после переноса к общему началу можно расположить в одной плоскости. Для трёх векторов в пространстве это означает, что они не задают третьего независимого направления. Если известны координаты, надёжная проверка — определитель из трёх строк: он равен нулю ровно для компланарной тройки.
Представьте два направления на листе бумаги и третью стрелку. Пока третью стрелку можно нарисовать на том же листе, все три вектора компланарны. Если её конец выходит из плоскости листа, понадобится объём. Стрелки разрешено параллельно переносить к одной точке: вектор задаётся направлением и длиной, а не местом на рисунке. Именно после такого переноса имеет смысл спрашивать об общей плоскости.
Как увидеть общую плоскость
В пространстве любые два вектора компланарны: через два направления можно провести плоскость. Если они коллинеарны, подходящих плоскостей даже много. Вопрос становится содержательным для трёх векторов: помещается ли третье направление в плоскость первых двух? Нулевой вектор не добавляет направления, поэтому любая тройка с нулевым вектором компланарна.
Когда первые два вектора неколлинеарны, они задают плоскость направлений. Тогда третьему вектору достаточно найти числа λ и μ так, чтобы c = λa + μb. Это и есть критерий компланарности для такой пары. Если же a и b коллинеарны, равенство может не получиться даже для компланарной тройки: например, a=(1,0,0), b=(2,0,0), c=(0,1,0). Все три лежат в плоскости z=0, но из a и b нельзя сложить направление c. Ошибка здесь — требовать от третьего вектора лежать на той же прямой, что и первые два.
Координатная проверка без исключений
Для a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃), c=(c₁,c₂,c₃) составьте определитель с этими векторами по строкам. Тройка компланарна тогда и только тогда, когда
D = a₁(b₂c₃−b₃c₂) − a₂(b₁c₃−b₃c₁) + a₃(b₁c₂−b₂c₁) = 0.
Определитель показывает ориентированный объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах. При нулевом объёме третьего независимого направления нет. В отличие от разложения через заранее выбранную пару, эта проверка работает и при нулевом векторе, и при коллинеарных первых двух.
На практике в задаче о параллелепипеде это позволяет отличить три направления в одной грани от трёх направлений вдоль разных рёбер. У первых объём равен нулю; у трёх независимых рёбер он ненулевой. Поэтому определитель полезен даже тогда, когда пространственная схема нарисована под неудобным углом.
Два разбора: обычный и вырожденный
Пример 1. Пусть a=(1,2,0), b=(0,1,1), c=(2,5,1). Первые два вектора неколлинеарны: b ненулевой, но никакое его скалярное кратное не даст первую координату 1 у a. Видно, что c=2a+b: 2(1,2,0)+(0,1,1)=(2,5,1). Значит, тройка компланарна. Проверим независимо арифметику определителем: D=1(1·1−1·5)−2(0·1−1·2)+0=−4+4=0.
Пример 2. Возьмём a=(1,0,0), b=(2,0,0), c=(0,1,0). Первые два коллинеарны, так что проверять только c=λa+μb нельзя. У всех трёх третья координата нулевая: после переноса к общему началу они лежат в плоскости z=0. Определитель также равен нулю: D=1(0·0−0·1)−0+0=0. Так компланарная тройка может содержать пару на одной прямой и третий вектор вне этой прямой.
Попробуйте решить
Во всех заданиях векторы заданы координатами в одном пространственном базисе. Сначала вычислите или обоснуйте ответ, затем раскройте решение.
1. Разложение по двум направлениям
a=(1,0,2), b=(0,1,−1), c=(3,−2,8). Компланарны ли они?
Показать решение 1
Первые два вектора неколлинеарны. Ищем c=λa+μb: из первой координаты λ=3, из второй μ=−2. Третья координата получается 2·3−(−2)=8. Равенство выполнено, значит, векторы компланарны. Если вышло «нет», проверьте знак в третьей координате b: μ·(−1)=+2.
2. Третье независимое направление
a=(1,1,0), b=(0,1,1), c=(1,0,1). Компланарны ли они?
Показать решение 2
D=1(1·1−1·0)−1(0·1−1·1)+0=1−(−1)=2. Определитель не равен нулю: векторы некомпланарны. Если получили ноль, пересчитайте второй минор: 0·1−1·1=−1, а перед ним стоит минус.
3. Пара на одной прямой
a=(0,2,0), b=(0,−1,0), c=(3,0,4). Компланарны ли они? Можно ли выразить c через a и b?
Показать решение 3
a и b коллинеарны. Плоскость, содержащая ось y и направление c, существует, поэтому тройка компланарна; определитель с нулевыми первыми и третьими координатами у первых двух строк равен 0. Но λa+μb всегда имеет вид (0,t,0), а у c первая координата 3 и третья 4. Выразить c через эту пару нельзя. Если равенство c=λa+μb не находится, проверьте сначала, не коллинеарны ли a и b: отсутствие такого разложения здесь не доказывает некомпланарность.
В задачах с координатами начинайте с определителя, когда возможны нулевые или коллинеарные векторы. Если пара явно неколлинеарна, разложение c=λa+μb часто короче и объясняет, почему третье направление остаётся в плоскости. Для повторения сложения и координат векторов можно перейти к курсу «Векторы»; наличие отдельного задания о компланарности в нём здесь не предполагается.