Короткий ответ. Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а его стороны являются радиусами. Его градусная мера равна мере дуги, на которую он опирается. Угол 360° — полный угол, соответствующий всей окружности; 180° — развёрнутый, 90° — прямой.
Отрежьте от круглой пиццы один кусок. Две прямые стороны этого куска сходятся точно в центре пиццы, а между ними прячется угол. Сделаете кусок побольше — угол шире и корочки достанется больше; отрежете тонкий ломтик — угол острый, и корочки почти нет. Получается, один и тот же угол в центре круга управляет сразу и величиной куска, и длиной дуги.
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны являются двумя её радиусами. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Полная окружность — это 360°, поэтому центральный угол просто показывает, какую часть круга «захватывает» его дуга: половину, четверть или тонкий ломтик.
На что опирается центральный угол?
Центральный угол «опирается» на дугу — часть окружности, заключённую между его сторонами. Ключевое свойство: сколько градусов в угле, столько же и в дуге. Если центральный угол равен 90°, то и дуга под ним — 90°, то есть ровно четверть окружности. Это самая простая и точная связь в геометрии круга: угол и его дуга измеряются одним и тем же числом.
Как найти центральный угол по доле круга?
Если известно, какую часть круга занимает сектор, центральный угол считается за один шаг: умножьте эту долю на 360°. Половина круга — это 1/2 × 360° = 180°, четверть — 1/4 × 360° = 90°, а треть — 1/3 × 360° = 120°. И наоборот: чтобы узнать, какую часть круга занимает угол, разделите его на 360°. Угол 72° занимает 72/360 = 1/5 круга.
- Весь круг — 360°
- Половина — 180°
- Четверть — 90°
- Треть — 120°
- Одна шестая — 60°
Пример из жизни: угол между стрелками часов
Циферблат часов — это круг, а стрелки выходят из его центра, так что угол между ними всегда центральный. Циферблат разбит на 12 равных частей, и на каждый час приходится 360° : 12 = 30°. Поэтому в три часа ровно стрелки образуют угол 3 × 30° = 90° — прямой угол. А в шесть часов стрелки смотрят в разные стороны и дают развёрнутый угол 180°. Так обычные часы превращаются в наглядный транспортир.
Где ещё встречается центральный угол у взрослых?
На практике центральные углы используют в круговых диаграммах, показывающих доли бюджета или результаты опросов. Чтобы изобразить долю, её умножают на 360°: если на жильё уходит 25% дохода, этот сектор займёт 0,25 × 360° = 90° круга, а доля в 10% — сектор в 36°. Дизайнеры и аналитики строят такие диаграммы именно так, поэтому по величине сектора можно на глаз оценить процент, даже не читая подписей.
Центральный угол вдвое больше вписанного угла, который опирается на ту же дугу. Например, если вписанный угол равен 20°, то центральный угол над той же дугой равен 40°.
Как найти длину дуги через центральный угол?
Раз центральный угол задаёт долю круга, через него удобно считать и длину дуги. Формула такая: длина дуги = (α / 360°) × 2πR, где α — центральный угол, а R — радиус. Например, при радиусе 10 см и центральном угле 90° дуга равна (90/360) × 2 × 3,14 × 10 ≈ 15,7 см — это четверть длины всей окружности. По той же логике площадь сектора равна (α / 360°) × πR².
Задачи для самопроверки
Решите самостоятельно, а затем проверьте себя.
Задача 1. Сектор занимает 1/6 круга. Чему равен его центральный угол?
Умножаем долю на полный круг: 1/6 × 360° = 60°. Центральный угол равен 60°.
Задача 2. Центральный угол равен 120°. Какую часть круга занимает его дуга?
Делим угол на полный круг: 120 / 360 = 1/3. Дуга занимает треть окружности.
Задача 3. Вписанный угол опирается на дугу и равен 35°. Чему равен центральный угол над той же дугой?
Центральный угол вдвое больше вписанного: 2 × 35° = 70°.
Почему вписанный угол не зависит от положения вершины
Центральный угол над дугой всего один — его вершина находится в центре. А вписанных углов, опирающихся на ту же дугу, бесконечно много: вершину можно выбрать на противоположной открытой дуге, не принадлежащей данной дуге AB, исключая концы A и B. Все такие углы равны, потому что каждый равен половине одного и того же центрального угла. Это можно представить на примере футбольных ворот: если обе штанги считать концами хорды, то из точек одной и той же дуги ворота видны под одинаковым углом. В реальной игре позиции футболиста обычно не лежат точно на такой дуге, а на выбор удара влияют расстояние, защитники и вратарь.
Частые вопросы о центральном угле
Что такое центральный угол простыми словами?
Это угол, вершина которого стоит в самом центре окружности, а стороны идут по двум радиусам к краю. Проще всего представить кусок пиццы: острый кончик в центре — это вершина, а два прямых разреза — стороны угла. Между ними и заключён центральный угол.
Чему равен центральный угол?
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Если дуга составляет четверть окружности, угол равен 90°; если половину — 180°. Полная окружность — это 360°, поэтому по углу сразу видно, какую часть круга занимает его дуга.
Чем центральный угол отличается от вписанного?
У центрального угла вершина в центре окружности, а у вписанного — на самой окружности. Если оба опираются на одну дугу, центральный угол ровно вдвое больше вписанного. Например, вписанному углу 30° соответствует центральный угол 60° над той же дугой.
Как найти центральный угол по доле круга?
Умножьте долю круга на 360°. Половина даёт 1/2 × 360° = 180°, четверть — 90°, треть — 120°. Обратно: чтобы узнать долю круга по углу, разделите угол на 360°. Так, угол 72° занимает 72/360 = 1/5 окружности.
Какой угол между стрелками часов в 3 часа?
Циферблат разбит на 12 частей по 30° каждая (360° : 12 = 30°). В три часа между стрелками три таких деления, поэтому угол равен 3 × 30° = 90° — прямой угол. В шесть часов стрелки образуют развёрнутый угол 180°.
Короткий ответ
Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Он опирается на дугу, и его градусная мера равна градусной мере этой дуги. Если полный круг равен 360°, то центральный угол в 90° вырезает четверть окружности.
Проверьте себя
Какую часть окружности занимает центральный угол 60°?
1/6 окружности, потому что 60° / 360° = 1/6.
Чему равен центральный угол, если он опирается на половину окружности?
180°.
Дуга равна 120°. Чему равен центральный угол?
120°.
Что изучать дальше
Следующий шаг — научиться связывать центральный угол с длиной дуги, площадью сектора и вписанным углом. Для доступа к платформе можно создать аккаунт STEMskills.
2 комментария к “Центральный угол окружности: что это и как найти”