Если коротко: сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Его площадь равна такой же доле от площади всего круга, какую угол сектора составляет от полного угла 360°. Формула: S = (α / 360°) · πR², где R — радиус, α — угол сектора в градусах; чем больше угол, тем больше «кусок».
Отрезаете кусок пиццы — и в руках у вас оказывается математическая фигура с собственным именем. Этот похожий на треугольный ломтик кусок с круглой корочкой называется сектором круга. Именно из секторов состоят круговые диаграммы вашего бюджета, циферблат часов делится секторами между делениями, а садовый распылитель поливает газон ровно по сектору. Понять, как вычислить площадь такого «кусочка», проще, чем кажется: нужно всего лишь сообразить, какую долю круга он занимает.
Любопытный факт: любая круговая диаграмма — это набор секторов одного круга. Если какая-то категория занимает 25% бюджета, её сектор имеет угол 90° — ровно четверть оборота. Поэтому, взглянув на диаграмму, вы фактически «читаете» углы секторов, даже не задумываясь об этом.
Что такое сектор круга?
Сектор круга — это фигура, которую вырезают из круга два радиуса и дуга между их концами. Представьте циркуль: вы поставили ножку в центр и провели две линии к краю под некоторым углом, а затем соединили их концы по окружности. Получившийся «ломтик» и есть сектор. Угол между радиусами называют центральным углом сектора и обозначают греческой буквой α.
Важно не путать сектор с сегментом. Сектор ограничен двумя радиусами и дугой (как кусок пиццы), а сегмент — это часть круга, отсечённая хордой (как горбушка, отрезанная одним прямым разрезом). В этой статье речь только о секторах.
Как найти площадь сектора круга по углу и радиусу?
Главная идея: сектор — это доля круга. Полный круг — это угол 360°. Если угол сектора α, то сектор занимает долю α/360 от круга. Значит, и площадь его составляет ту же долю от площади круга πR². Отсюда основная формула площади сектора:
S = (α / 360°) · π · R²
Посчитаем на конкретном примере. Пусть радиус круга R = 6 см, а угол сектора α = 90°. Тогда доля равна 90/360 = 1/4. Площадь круга: π · 6² = 36π. Площадь сектора: 1/4 · 36π = 9π ≈ 28,3 см². Проверка очевидна: 90° — это четверть оборота, и площадь получилась ровно вчетверо меньше площади круга.
Какие ещё есть формулы площади сектора?
Одну и ту же площадь можно посчитать тремя равноценными способами — выбирайте тот, под который даны данные в задаче.
- Через градусы: S = (α / 360°) · πR². Подходит, когда угол задан в градусах.
- Через радианы: S = ½ · R² · θ, где θ — угол в радианах. Удобно в старших классах и в физике.
- Через длину дуги: S = ½ · l · R, где l — длина дуги сектора. Похоже на площадь треугольника «половина основания на высоту».
Все три формулы дают один результат, потому что связаны между собой. Длина дуги l = (α/360°) · 2πR, а угол в радианах θ = α · π/180°. Подставив, легко убедиться: и ½·R²·θ, и ½·l·R превращаются в (α/360°)·πR².
Где площадь сектора нужна во взрослой жизни?
Когда аналитик строит круговую диаграмму расходов компании, он по сути вычисляет секторы: категории с большей долей бюджета получают больший центральный угол и большую площадь. Дизайнеры и архитекторы рассчитывают секторы, проектируя круглые витражи, веера лестниц и амфитеатры.
В быту площадь сектора всплывает на даче. Автоматический поливальный распылитель часто орошает не полный круг, а сектор — скажем, 120°. Чтобы понять, какую площадь газона он покрывает при дальности струи 5 метров, считают именно площадь сектора: (120/360)·π·5² = 1/3 · 25π ≈ 26,2 м². Так можно заранее прикинуть, сколько распылителей нужно на участок.
Задачи для самопроверки
Попробуйте решить сами, потом раскройте решение.
Задача 1. Радиус круга 10 см, угол сектора 36°. Найдите площадь сектора.
Доля круга: 36/360 = 1/10. Площадь круга: π·10² = 100π. Площадь сектора: 1/10 · 100π = 10π ≈ 31,4 см².
Задача 2. Пиццу диаметром 30 см разрезали на 8 равных кусков. Какова площадь одного куска?
Радиус R = 15 см. Каждый кусок — сектор с углом 360°/8 = 45°, то есть 1/8 круга. Площадь круга: π·15² = 225π ≈ 706,9 см². Один кусок: 706,9 : 8 ≈ 88,4 см².
Задача 3. Площадь сектора равна 12π см², радиус 6 см. Найдите центральный угол.
Из формулы S = (α/360)·πR²: 12π = (α/360)·π·36. Сократим π: 12 = (α/360)·36, значит α/360 = 12/36 = 1/3, откуда α = 120°.
Откуда взялась формула площади круга?
Формула площади сектора связана с площадью круга πR². В III веке до н. э. Архимед в первом предложении «Измерения круга» доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника с катетами R и C, где C — длина окружности: S = ½CR. Доказательство от противного использует вписанные и описанные многоугольники; из C = 2πR получаем S = πR².
Отдельная наглядная модель — разрезать круг на множество тоненьких секторов и сложить их «зубчиками» друг к другу. Получается фигура, всё больше похожая на прямоугольник со сторонами R и половиной длины окружности. Такая модель помогает представить предельный переход, но не повторяет доказательство из трактата Архимеда.
Удивительный финал: сектор прячет в себе и круг, и треугольник
В формуле сектора спрятаны два знакомых частных случая. Если взять угол α = 360°, доля станет равна единице, и формула превратится в площадь целого круга πR². А формула через дугу S = ½·l·R до странности напоминает площадь треугольника «половина основания на высоту»: дуга играет роль основания, а радиус — высоты. Узкий сектор можно приближённо сравнить с тонким треугольником, но дуга остаётся кривой линией. Формула S = ½·l·R точна и для широкого сектора: она выведена выше через долю круга, а не через приближённую замену дуги отрезком.
Частые вопросы
Какая формула площади сектора круга?
Основная формула: S = (α / 360°) · π · R², где R — радиус, α — центральный угол сектора в градусах. Если угол задан в радианах, удобнее формула S = ½ · R² · θ. Обе формулы дают одинаковый результат и выражают одну идею: сектор — это доля круга.
Чем сектор отличается от сегмента круга?
Сектор ограничен двумя радиусами и дугой между ними — это «кусок пиццы». Сегмент же ограничен хордой и дугой — это часть круга, отрезанная одной прямой линией, как горбушка. Площади у них считаются по-разному, поэтому фигуры важно не путать.
Как найти площадь сектора через длину дуги?
Если известна длина дуги l и радиус R, площадь сектора равна S = ½ · l · R. Например, при дуге 8 см и радиусе 6 см площадь равна ½ · 8 · 6 = 24 см². Эта формула удобна, когда угол неизвестен, а длина дуги дана.
Как найти угол сектора, если известна его площадь?
Выразите угол из формулы: α = (S · 360°) / (π · R²). Сначала найдите площадь круга πR², затем поделите площадь сектора на неё — получите долю, и умножьте на 360°. Например, если сектор — треть круга, его угол равен 120°.
Короткий ответ
Площадь сектора равна S = (α / 360°) · πR², если α задан в градусах. Для угла θ в радианах используют S = ½R²θ. При радиусе в сантиметрах площадь получают в квадратных сантиметрах.
Проверьте себя
Выпишите основную формулу со страницы и подпишите все обозначения.
В формуле S = (α / 360°) · πR² величина S — площадь сектора, R — радиус, α — центральный угол в градусах.
Подставьте в формулу простой числовой пример из статьи.
Для разобранного примера R = 6 см и α = 90°: S = (90° / 360°) · π · 6² = 9π см². Радиус дан в сантиметрах, поэтому ответ записан в см².
Назовите одно условие, при котором формулу нельзя применять автоматически.
В формулу S = (α / 360°) · πR² нельзя подставлять угол в радианах без перевода. Для радиан в статье дана отдельная запись S = ½R²θ.
1 комментарий к “Площадь сектора круга: формула, как найти, примеры”