Вписанный угол имеет вершину на окружности, а его стороны пересекают её в двух других точках. Он равен половине градусной меры дуги между этими точками, не содержащей вершину. По этому правилу можно найти угол по дуге или дугу по углу.
Отметьте на краю круглой тарелки точки A и B, а затем третью точку C и соедините её с первыми двумя. Если дуга AB, не содержащая C, равна 80°, то угол ACB равен 40°. Пока C движется по другой открытой дуге от A до B, угол не меняется; переход через A или B не допускается. При выборе вершины на противоположной дуге получится уже другой угол.
Интересный факт: угол, который опирается на диаметр окружности, всегда прямой — ровно 90°. Это значит, что вершина прямого угла всегда «гуляет» по окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре. Этим свойством пользуются, чтобы построить прямой угол без угольника — одной верёвкой и циркулем.
Что такое вписанный угол простыми словами?
Вписанный угол имеет вершину прямо на окружности. Его стороны идут по лучам, содержащим хорды, которые соединяют вершину с двумя другими точками окружности. Дугой, на которую опирается угол, называют дугу между этими двумя точками, не содержащую вершину угла.
Не путайте вписанный угол с центральным. У центрального угла вершина стоит в центре окружности, а у вписанного — на самой окружности. Оба могут опираться на одну и ту же дугу, но величины у них разные, и связаны они простым правилом.
Что гласит теорема о вписанном угле?
Теорема о вписанном угле звучит так: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. По-другому это формулируют ещё короче: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается (дугу здесь измеряют в градусах).
Проверим на числах. Пусть дуга AB равна 80°. Центральный угол, соответствующий этой дуге, тоже равен 80°, а вписанный угол с вершиной C на другой дуге равен 80° : 2 = 40°. Если передвинуть C внутри той же дуги, значение останется 40°. Так опыт с тарелкой проверяет теорему, но только при соблюдении условия о положении вершины.
Какие следствия вытекают из теоремы?
Из главной теоремы мгновенно получаются три полезных факта, которые часто спрашивают на контрольных и экзаменах:
- Опора на одну дугу: все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
- Угол на диаметре: вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), всегда прямой — равен 90°.
- Сумма противоположных углов: у четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180°.
Где вписанный угол встречается в жизни?
Ответ: там, где из круга или дуги нужно «увидеть» предмет под одним и тем же углом, — от футбольного поля до старинных способов строить прямой угол.
Угол, под которым видны ворота
Рассмотрим на плане футбольного поля две стойки ворот как точки A и B. Точки, из которых отрезок AB виден под одинаковым углом и которые находятся по одну сторону от него, лежат на определённой дуге окружности. Если игрок перемещается по этой дуге, угол между направлениями на стойки сохраняется. Это геометрическая модель обзора ворот, а не гарантия удачного удара: положение вратаря и другие условия она не учитывает.
Построение прямого угла и определение положения
Прямой угол можно построить без угольника: начертить окружность, провести диаметр AB и выбрать на окружности третью точку C, отличную от A и B. Угол ACB будет равен 90°. В плоской модели навигации похожая идея даёт линию возможных положений: при фиксированном угле между направлениями на два маяка и выбранной стороне отрезка между ними наблюдатель находится на определённой дуге. Одно измерение не определяет единственную точку; нужны дополнительные данные, например угол между другими ориентирами.
Задачи для самопроверки
1. Дуга, на которую опирается вписанный угол, равна 100°. Чему равен сам угол?
Вписанный угол равен половине дуги: 100° : 2 = 50°.
2. Центральный угол равен 120°. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?
Вписанный угол вдвое меньше центрального: 120° : 2 = 60°.
3. Вписанный угол равен 35°. Чему равна дуга, на которую он опирается?
Дуга вдвое больше вписанного угла: 35° × 2 = 70°.
4. В окружность вписан четырёхугольник. Один из углов равен 70°. Чему равен противоположный ему угол?
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°, поэтому противоположный угол: 180° − 70° = 110°.
5. Точки C и D лежат на разных дугах между A и B. Если угол ACB равен 40°, чему равен угол ADB?
Дуга AB, не содержащая C, равна 2 · 40° = 80°. Точка D лежит на этой дуге, поэтому угол ADB опирается на другую: 360° − 80° = 280°. Получаем 280° : 2 = 140°. Углы не равны, потому что опираются на разные дуги.
Откуда взялась эта теорема?
Свойство угла, опирающегося на диаметр, традиционно связывают с Фалесом Милетским, поэтому его называют теоремой Фалеса. В «Началах» Евклида соотношение центрального и вписанного углов дано в предложении 20 третьей книги. Доказательство использует равные радиусы: они образуют равнобедренные треугольники, а равенство их углов позволяет получить нужное отношение 2:1. Это объясняет, почему теорема работает независимо от размера окружности.
Связь с теоремой синусов
Свойство вписанного угла лежит в основе целого раздела геометрии — учения об окружностях и многоугольниках, вписанных в них. Из него же вытекает изящный способ доказать теорему синусов: оказывается, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Один скромный угол с вершиной на окружности связывает между собой треугольники, дуги и даже тригонометрию — вот что значит «фундаментальная теорема».
Частые вопросы (FAQ)
Чему равен вписанный угол?
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, и половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Например, если дуга равна 90°, то вписанный угол равен 45°. Величина не меняется, пока вершина остаётся на другой дуге и угол опирается на ту же дугу.
Чем вписанный угол отличается от центрального?
У центрального угла вершина находится в центре окружности, а у вписанного — на самой окружности. Если оба опираются на одну дугу, то вписанный угол ровно вдвое меньше центрального. Центральный угол численно равен своей дуге, а вписанный — её половине.
Почему угол, опирающийся на диаметр, прямой?
Диаметр делит окружность на две дуги по 180°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, то есть 180° : 2 = 90°. Поэтому любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Это утверждение называют теоремой Фалеса.
Равны ли вписанные углы, опирающиеся на одну дугу?
Да, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Это прямое следствие теоремы: каждый из них равен половине одной и той же дуги. Поэтому вершину можно двигать внутри одной дуги между концами хорды; переход на противоположную дугу меняет условие.
Как найти дугу по вписанному углу?
Нужно умножить вписанный угол на два. Если вписанный угол равен 30°, то дуга, на которую он опирается, равна 30° × 2 = 60°. Это обратное действие к правилу «вписанный угол — половина дуги».