Касательная к окружности — прямая с ровно одной общей точкой с окружностью. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей. Из внешней точки M длина отрезка касательной равна √(OM² − R²), где O — центр, R — радиус и OM > R.
Колесо на ровной дороге помогает представить касание: в идеальном плоском рисунке окружность касается прямой в одной точке. Реальная шина деформируется и имеет пятно контакта; сопротивление качению и потери в механизмах не исчезают оттого, что колесо круглое. Поэтому рисунок объясняет геометрическое положение, а не движение без сопротивления. Идея касательной встречается также в расчётах зубчатых передач и отражения света.
Если коротко: касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. В этой точке (её называют точкой касания) касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в неё. Это главное свойство, из которого вырастает почти вся геометрия касательных.
Полезное свойство. Отрезки двух касательных из одной внешней точки до точек касания равны. Стороны описанного вокруг окружности многоугольника лежат на касательных. У вписанного многоугольника стороны, напротив, являются хордами. Архимед использовал оба типа многоугольников для оценки числа π, и различать их здесь принципиально важно.
Пример из жизни: монетка и линейка
Положите на стол монету и приложите к её краю обычную линейку. Подвиньте линейку так, чтобы она касалась края. В идеальном плоском рисунке прямая линейки и окружность монеты имеют одну общую точку. Мысленно проведите отрезок от центра до точки касания — это радиус. Угол между ним и касательной равен 90°. Угольник помогает увидеть это соотношение на модели; доказательство ниже объясняет, почему оно верно для точной окружности.
Главное свойство: радиус ⊥ касательная
В геометрии возможны три варианта взаимного расположения прямой и окружности:
- Прямая не пересекает окружность. У них нет общих точек. Расстояние от центра до прямой больше радиуса.
- Прямая пересекает окружность в двух точках. Такую прямую называют секущей. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
- Прямая касается окружности. У них ровно одна общая точка — точка касания. Расстояние от центра до прямой равно радиусу.
Последний случай и даёт нам касательную. А из условия «расстояние = радиус» вытекает теорема: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Доказательство почти однострочное: если бы это было не так, мы могли бы опустить из центра перпендикуляр к прямой, и он оказался бы короче радиуса — а тогда прямая прошла бы внутрь окружности и стала бы секущей. Противоречие.
Две касательные из одной точки
Если точка M находится вне окружности, через неё можно провести ровно две касательные. Обозначим точки касания A и B. Тогда верно несколько красивых утверждений:
- Отрезки MA и MB равны: MA = MB.
- Прямая MO (центр) делит угол ∠AMB пополам.
- Прямая MO перпендикулярна хорде AB.
Почему так? Треугольники OAM и OBM — прямоугольные (по нашему главному свойству), у них общая гипотенуза OM и равные катеты OA = OB = R. Значит, они равны по гипотенузе и катету — а из равенства следуют все три факта сразу. Один аккуратный шаг — и три свойства в кармане.
Как построить касательную: два способа
Способ 1: через точку на самой окружности
Дана окружность с центром O и точка A на ней. Построить касательную в A.
- Проведите радиус OA.
- Через точку A проведите прямую, перпендикулярную OA. Можно использовать угольник. Для построения циркулем продолжите OA за A до точки C так, чтобы AC = AO, затем постройте серединный перпендикуляр к OC: его середина как раз A.
- Эта прямая и есть искомая касательная.
Способ 2: из внешней точки
Дана окружность с центром O и радиусом R, и точка M вне окружности. Построить обе касательные из M.
- Соедините M с центром O.
- Найдите середину отрезка OM — назовём её N.
- Постройте окружность с центром в N и радиусом NM = NO.
- Точки пересечения этой вспомогательной окружности с исходной — это точки касания A и B.
- Проведите прямые MA и MB — это касательные.
Почему работает? Угол OAM опирается на диаметр OM вспомогательной окружности — значит, он прямой (теорема Фалеса). А прямой угол между радиусом и прямой — это и есть условие касания.
Как найти длину касательной
Пусть M — внешняя точка, O — центр окружности радиуса R, расстояние OM = d > R. Под «длиной касательной» понимаем длину отрезка MA, а не бесконечной прямой. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OAM:
MA = √(d² − R²)
Например, если центр находится на расстоянии 13 см, а радиус равен 5 см, длина касательной из этой точки равна √(169 − 25) = √144 = 12 см. Изящное сочетание двух классических теорем — Пифагора и о касательной — даёт мгновенный ответ.
Где это работает: GPS, шестерёнки и фары
В зубчатой передаче рассматривают общую касательную и общую нормаль к профилям зубьев в точке контакта. Нормаль перпендикулярна касательной и задаёт направление силы в идеальной модели без трения. Реальные зубья могут скользить относительно друг друга: касание не означает чистого качения без потерь. В оптике углы падения и отражения измеряют от нормали к поверхности. У параболического отражателя источник в фокусе даёт параллельный пучок в идеальной модели. Не каждая современная фара устроена именно так.
В модели сферической Земли касательная плоскость в точке наблюдения задаёт местный горизонт. Это помогает описывать угол возвышения спутника, но положительный угол не гарантирует приём: сигнал могут закрывать здания и рельеф. Для обычного определения трёх координат и поправки часов GPS-приёмнику нужны измерения как минимум от четырёх спутников. Число отслеживаемых спутников зависит от устройства и условий, а универсального предела «до 12» нет. Геометрический горизонт и работоспособность приёмника — разные условия.
Два дополнительных инструмента для задач
В прямоугольном треугольнике тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg ∠OMA = OA/MA. А если из внешней точки M проведены касательная MT и секущая, встречающая окружность сначала в C, потом в D, действует теорема MT² = MC · MD. Здесь MD — весь отрезок от M до дальней точки, не только хорда CD. Эти правила понадобятся во второй и третьей задачах.
Попробуйте сами
Задача 1. Из точки M, удалённой от центра окружности на 17 см, проведена касательная длиной 15 см. Найдите радиус окружности.
Показать решение
В прямоугольном треугольнике OAM: гипотенуза OM = 17, катет MA = 15. По Пифагору: R = √(17² − 15²) = √(289 − 225) = √64 = 8 см.
Задача 2. Из точки M проведены две касательные к окружности, угол между ними равен 60°. Длина каждой касательной — 6 см. Найдите радиус окружности.
Показать решение
Прямая OM делит угол ∠AMB пополам, значит ∠OMA = 30°. В прямоугольном треугольнике OAM: tg(30°) = R/MA, отсюда R = 6 · tg(30°) = 6 · (√3/3) = 2√3 см ≈ 3,46 см.
Задача 3. Касательная и секущая проведены из одной точки M к окружности. Длина касательной — 12, секущая пересекает окружность в точках, удалённых от M на 6 и x соответственно. Найдите x.
Показать решение
Здесь работает теорема о касательной и секущей: квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть. То есть 12² = 6 · x, откуда x = 144 / 6 = 24.
История: от Архимеда до Ньютона
Касательные к окружности изучали ещё в III веке до н. э. Архимед в работе «Об измерении круга» использовал именно вписанные и описанные многоугольники: их стороны являются касательными или хордами окружности. Через эти многоугольники Архимед вычислил, что π лежит между 3 + 10/71 и 3 + 1/7 — для III века до н. э. это была фантастическая точность.
В XVII веке задачи о касательных к кривым стали одним из источников дифференциального исчисления, разработанного Ньютоном и Лейбницем. Для графика дифференцируемой функции производная в точке задаёт наклон касательной; сама прямая и производная — не одно и то же. У произвольной кривой касательная может пересекать её в других точках. Поэтому школьное определение через единственную общую точку относится именно к окружности, а не ко всем графикам.
Общие касательные двух окружностей
Две различные окружности могут иметь 0, 1, 2, 3 или 4 общие касательные. Если одна строго внутри другой без касания — ни одной; при внутреннем касании — одна; при пересечении — две; при внешнем касании — три; у двух разнесённых окружностей — четыре. Для совпадающих окружностей касательных бесконечно много. Более сложная тема — инверсия: она преобразует окружности и прямые друг в друга и в подходящих точках сохраняет углы и касание, но касательная прямая при этом не обязана остаться прямой. Для решения школьной задачи сначала достаточно определить взаимное положение окружностей.
FAQ
Сколько касательных можно провести к окружности через одну точку?
Если точка лежит внутри окружности — ни одной. Если на окружности — ровно одна. Если вне окружности — ровно две.
Чем касательная отличается от секущей?
Касательная имеет с окружностью одну общую точку, секущая — две. При этом расстояние от центра до касательной равно радиусу, до секущей — меньше радиуса.
Как доказать, что прямая является касательной?
Достаточно проверить одно из двух: либо расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, либо радиус, проведённый в точку их пересечения, перпендикулярен этой прямой.
Что такое теорема о касательной и секущей?
Если из внешней точки M проведены отрезок касательной длины t и секущая, а расстояния от M до ближней и дальней точек пересечения равны a и b, то t² = a · b. Важно брать всю длину до дальней точки, а не только хорду внутри круга.
Может ли быть касательная к окружности изнутри?
Нет. Любая прямая через внутреннюю точку круга пересекает окружность дважды и является секущей. Хорда — только отрезок этой прямой между точками пересечения; называть хорду секущей прямой неправильно.
Читайте также
- Как работает GPS: математика, которая ведёт нас домой
- Объём цилиндра: формула V = πr²h, вывод и примеры
- Признаки равенства треугольников: 3 правила, примеры и доказательство
- Теорема Фалеса: формулировка, доказательство и примеры
- Трапеция: виды, свойства и формула площади
Короткий ответ
Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это главное свойство чаще всего используют в задачах.
Проверьте себя
Сколько общих точек у касательной и окружности?
Одну.
Как расположен радиус к касательной в точке касания?
Перпендикулярно касательной.
Можно ли провести касательную через точку на окружности?
Да, через точку окружности проходит одна касательная.
Что изучать дальше
Для продолжения темы ниже приведены разделы программы STEMskills. Их состав и условия доступа нужно смотреть на соответствующих страницах; ссылка на регистрацию в STEMskills ведёт к созданию аккаунта, а не сразу к заданию о касательных.