Развёртка октаэдра: PDF A4 в трёх размерах. Выберите вариант с клапанами для клея или без клапанов для скотча.
Ещё два размера — четыре PDF
У октаэдра 8 граней, 12 рёбер и 6 вершин; квадратного основания на внешней поверхности нет.
Новая серия ниже отличается от исходного шаблона в статье; размеры каждого PDF подписаны отдельно.
Развёртка правильного октаэдра состоит из восьми одинаковых равносторонних треугольников. После сборки у тела получится шесть вершин и двенадцать рёбер. В приложенном шаблоне каждое ребро имеет длину 40 мм; пять клапанов добавлены для склейки.
Скачать развёртку октаэдра — PDF A4. Числа 1–8 обозначают грани, буквы — пары склейки. На плоском листе треугольники соединены по семи рёбрам, остальные пары рёбер встретятся при сборке.
Как устроен октаэдр
Его удобно представить как две одинаковые квадратные пирамиды, соединённые основаниями. Квадрат окажется внутри, поэтому в развёртке его нет: снаружи остаются только восемь треугольных граней. Четыре грани сходятся у верхней вершины, ещё четыре — у нижней; в каждой из четырёх вершин среднего «пояса» тоже встречаются четыре грани.
Слово «правильный» здесь существенно: все грани — равные равносторонние треугольники. Восемь произвольных треугольников не дадут этот же многогранник. Число граней не задаёт автоматически ни их форму, ни взаимное расположение.
| Что считаем | Количество | Как проверить |
|---|---|---|
| Грани | 8 | По четыре в каждой половине |
| Рёбра | 12 | 8 треугольников по 3 стороны, каждое ребро общее для двух граней: 24 / 2 |
| Вершины | 6 | Две крайние и четыре в среднем поясе |
Пример 1. Размеры треугольника и площадь шаблона
При стороне a = 40 мм половина основания треугольника равна 20 мм. Его высота: √(40² − 20²) = 20√3 ≈ 34,64 мм. Это высота одной плоской грани; она не равна расстоянию между верхней и нижней вершинами собранного октаэдра.
Перейдём к сантиметрам: a = 4 см. Площадь одной грани — 4 · 2√3 / 2 = 4√3 см². У восьми граней площадь 32√3 ≈ 55,43 см². Клапаны в эту величину не входят, а прямоугольный лист A4 содержит ещё и незанятые участки.
Пример 2. Октаэдр меньшего размера
При ребре 3 см высота грани равна 3√3 / 2 см. Площадь треугольника — 9√3 / 4 см², а полная поверхность — 8 · 9√3 / 4 = 18√3 ≈ 31,18 см². Длина ребра уменьшилась до 3/4 исходной, площадь — до (3/4)² = 9/16.
Уменьшить всю распечатку до 75% технически можно, но тогда контрольный отрезок станет 37,5 мм, ребро — 30 мм, а клапаны тоже уменьшатся. Это другая по размеру модель. Для приложенного PDF исходная настройка — 100%.
Как собрать октаэдр из шаблона
- До вырезания найдите все восемь пронумерованных треугольников и пять пар букв. Если одну грань приняли за клапан, остановитесь и сверьтесь со схемой.
- Вырежьте только внешний контур. Сохраните семь пунктирных рёбер между соседними гранями и пунктир у клапанов.
- Аккуратно согните все линии и примерьте ближайшие одноимённые края без клея. Грани 1–4 относятся к одной половине, 5–8 — к другой.
- Склейте доступные пары, каждый раз проверяя, что буквы совпадают. Последний шов оставьте открытым до проверки формы и затем закройте его клапаном.
У правильно собранной модели не остаётся квадратного отверстия в середине: две половины встречаются по общим рёбрам. Клапаны направлены внутрь. Если в одной вершине сходятся три треугольника, проверьте выбранные пары: у правильного октаэдра там должны встретиться четыре.
Как распечатать шаблон без изменения размеров
Откройте PDF и выберите бумагу A4, масштаб 100% или «Фактический размер». Отключите «Вписать в страницу»: эта настройка может уменьшить модель. После печати измерьте контрольный отрезок внизу листа — он должен быть длиной 50 мм. Если получилось 45 мм, распечатка уменьшена до 90%; её нельзя использовать для проверки заявленных размеров. Вернитесь к настройкам печати.
Сплошная линия обозначает разрез, пунктирная — сгиб. Серые клапаны на иллюстрации и выступы на PDF нужны для клея; они не являются гранями. На шаблоне одинаковыми буквами отмечены клапан и край, который нужно к нему приклеить. Сначала вырежьте внешний контур вместе с клапанами, наметьте сгибы и примерьте детали без клея. Удобно согнуть заготовку по линейке, затем склеить пары по буквам, пряча клапаны внутрь. Числа в середине граней помогают сверять их количество.
Для первой попытки подойдёт обычная бумага: на ней проще исправить ошибочный сгиб. Более плотную бумагу выбирайте после пробной сборки. Не надрезайте линии сгиба насквозь. Работайте ножницами аккуратно; ребёнку при необходимости помогает взрослый.
Проверьте себя
1. Ребро правильного октаэдра равно 5 см. Чему равна площадь поверхности?
Площадь одной грани: 25√3 / 4 см². У восьми граней: 50√3 ≈ 86,60 см².
2. Нужно ли добавлять квадрат между двумя половинами октаэдра?
Нет. Это мысленное общее основание двух пирамид, а не внешняя грань. Оно не входит ни в поверхность, ни в развёртку октаэдра.
3. Ребро увеличили с 4 до 8 см. Во сколько раз выросла площадь?
В четыре раза: квадрат линейного масштаба равен 2². Было 32√3 см², стало 128√3 см².
Что изучить дальше
После сборки можно перейти к связанным объяснениям: