Сумма внутренних углов простого многоугольника на плоскости равна (n − 2) · 180°, где n — число сторон, а «простой» означает отсутствие самопересечений. Формула позволяет найти сумму углов по числу сторон или восстановить число сторон по известной сумме. Для правильного многоугольника один угол равен (n − 2) · 180° / n.
У треугольника сумма равна 180°, у четырёхугольника — 360°, у пятиугольника — 540°. На бумажном треугольнике это можно проверить: оторвать три уголка и приложить их вершинами в одну точку, получив развёрнутый угол. Опыт помогает увидеть результат, а доказательство ниже объясняет его через параллельные прямые. Для многоугольника важны число сторон и отсутствие самопересечений; правильность фигуры не требуется.
У выпуклого многоугольника есть ещё одно полезное свойство: сумма его внешних углов всегда равна 360° — и у треугольника, и у стоугольника. Это ровно один полный оборот: обойдите фигуру по периметру, и на углах вы суммарно повернётесь на полный круг.
Почему сумма углов треугольника всегда 180°?
Сумма углов треугольника равна 180°, и это можно увидеть без формул. Проведите через вершину прямую, параллельную противоположной стороне. Два угла треугольника «переедут» к этой вершине как накрест лежащие при параллельных прямых, а вместе с третьим углом они заполнят развёрнутый угол — прямую линию в 180°. Это и есть тот самый фокус с оторванными уголками, только строго доказанный.
При обходе треугольника по сторонам повороты описывают внешние, а не внутренние углы. За полный обход направление поворачивается на 360° и возвращается к исходному. Если внутренние углы равны α, β и γ, сумма внешних равна (180° − α) + (180° − β) + (180° − γ) = 360°. Отсюда α + β + γ = 180°. Так можно связать два результата, но нельзя называть 180° суммой поворотов при обходе.
Как найти сумму углов любого многоугольника?
Для выпуклого многоугольника выберите одну вершину и проведите из неё диагонали ко всем несоседним вершинам. Получится n − 2 неперекрывающихся треугольника; их углы вместе образуют все внутренние углы фигуры. Поэтому сумма равна (n − 2) · 180°. Простой невыпуклый многоугольник тоже можно разбить на n − 2 треугольника, но диагонали не всегда удаётся провести из одной вершины: нужно выбирать те, что лежат внутри фигуры.
Отсюда и берётся формула. Если сторон n, то треугольников получается (n − 2), и сумма углов равна:
S = (n − 2) × 180°
Проверим на четырёхугольнике: из одной вершины проводится единственная диагональ, и квадрат, ромб или любой простой четырёхугольник по подходящей внутренней диагонали делится на два треугольника. Значит, сумма углов 2 × 180° = 360°.
Сколько градусов в сумме углов разных фигур?
Подставив число сторон в формулу, легко составить таблицу. Сумма растёт ровно на 180° с каждой новой стороной:
| Фигура | Сторон, n | Сумма углов (n−2)×180° |
|---|---|---|
| Треугольник | 3 | 180° |
| Четырёхугольник | 4 | 360° |
| Пятиугольник | 5 | 540° |
| Шестиугольник | 6 | 720° |
| Восьмиугольник | 8 | 1080° |
| Двенадцатиугольник | 12 | 1800° |
Чему равен один угол правильного многоугольника?
У правильного многоугольника все углы одинаковы, поэтому один угол равен всей сумме, делённой на число сторон: (n − 2) × 180° / n. Например, у правильного шестиугольника угол равен 720° / 6 = 120°. Именно поэтому три шестиугольника идеально сходятся в одной точке: 3 × 120° = 360°, без зазоров.
При укладке мозаики на плоскости сумма углов вокруг внутреннего узла должна быть 360°. Если использовать только одинаковые правильные многоугольники и соединять их полными сторонами, подходят равносторонние треугольники, квадраты и правильные шестиугольники: 360° делится на 60°, 90° и 120°. У правильного пятиугольника угол 108°, поэтому такое замощение из одних правильных пятиугольников не получится. Это не запрет на любые пятиугольные плитки или смешанную мозаику; для купола на искривлённой поверхности условия тоже другие.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Чему равна сумма углов десятиугольника?
Подставляем n = 10 в формулу: (10 − 2) × 180° = 8 × 180° = 1440°.
Задача 2. Сумма углов фигуры равна 900°. Сколько у неё сторон?
Решаем уравнение (n − 2) × 180° = 900°. Делим обе части на 180°: n − 2 = 5, значит n = 7. Это семиугольник.
Задача 3. Чему равен один угол правильного восьмиугольника?
Сумма углов: (8 − 2) × 180° = 1080°. Делим на число углов: 1080° / 8 = 135°. Именно такие углы у дорожного знака «стоп».
Откуда взялась эта формула?
В предложении 32 первой книги «Начал» Евклида доказано, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, то есть 180°. Разбиение простого плоского многоугольника на треугольники распространяет этот результат на n сторон. На сфере для треугольников со сторонами по большим кругам сумма углов больше 180°. Это не та же геометрия, которую разрабатывали Лобачевский и Бойяи: в гиперболической геометрии сумма углов треугольника, напротив, меньше 180°.
Почему формула не переносится на глобус
Нарисуйте на глобусе треугольник: от Северного полюса вниз до экватора, четверть пути по экватору и обратно к полюсу. Каждый из трёх углов получится прямым — 90°, а их сумма составит целых 270°, а не 180°. На искривлённой поверхности привычная формула не действует, поэтому при расчётах на глобусе нельзя автоматически применять формулы плоской геометрии. А на плоском листе бумаги (n − 2) × 180° работает безупречно — её применяют к простым многоугольникам без самопересечений.
Частые вопросы
Чему равна сумма углов многоугольника?
Сумма внутренних углов простого многоугольника на плоскости равна (n − 2) × 180°, где n — число сторон. У треугольника это 180°, у четырёхугольника 360°, у пятиугольника 540°. С каждой новой стороной сумма увеличивается ровно на 180°.
Чему равна сумма углов пятиугольника?
Сумма углов пятиугольника равна 540°. По формуле (n − 2) × 180° при n = 5 получаем 3 × 180° = 540°. Это верно для любого простого пятиугольника на плоскости. У правильного пятиугольника, где все углы равны, один угол составляет 540° / 5 = 108°.
Как найти количество сторон, если известна сумма углов?
Нужно решить уравнение (n − 2) × 180° = S относительно n. Разделите сумму S на 180°, прибавьте 2 — получите число сторон. Например, при сумме 720° имеем 720 / 180 = 4, плюс 2, итого n = 6 сторон.
Чему равна сумма внешних углов многоугольника?
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна 360°, независимо от числа сторон. Это соответствует одному полному обороту при обходе фигуры по периметру. У треугольника, пятиугольника и стоугольника она одинакова — ровно 360°.
Работает ли формула для невыпуклых фигур?
Да, формула (n − 2) × 180° верна для любого простого многоугольника без самопересечений, в том числе невыпуклого. Главное — чтобы стороны не пересекали друг друга. Сумма внутренних углов зависит только от числа сторон, а не от формы фигуры.
Для самостоятельной проверки полезно чередовать прямые задачи по числу сторон и обратные задачи по сумме углов.
Короткий ответ
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n — 2) * 180°. Формула работает потому, что многоугольник можно разбить диагоналями из одной вершины на n — 2 треугольника, а сумма углов каждого треугольника равна 180°.
Проверьте себя
Найдите сумму углов пятиугольника.
(5 — 2) * 180° = 540°.
Найдите сумму углов восьмиугольника.
(8 — 2) * 180° = 1080°.
Сумма углов многоугольника равна 900°. Сколько у него сторон?
7 сторон, потому что (n — 2) * 180° = 900°, n — 2 = 5.
Что изучать дальше
После вычисления суммы углов можно проверить, как меняется один угол правильного многоугольника при увеличении числа сторон. Для дальнейшего обучения можно создать аккаунт STEMskills; это регистрация, а не проверка решения задачи из статьи.