Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все внутренние углы. Его примеры — равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Одного условия недостаточно: ромб с углами 60° и 120° имеет равные стороны, но не является правильным.
Для n сторон внутренний угол равен (n − 2)·180°/n; у шестиугольника это 120°.
Пчелиные соты напоминают сетку шестиугольников. В геометрической модели одинаковые правильные шестиугольники заполняют плоскость без промежутков: в каждой вершине встречаются три угла по 120°, всего 360°. Это описание формы, а не утверждение, будто пчёлы вычисляют углы и периметры. У правильного n-угольника есть повороты на кратные 360°/n и оси отражения, совмещающие фигуру с собой. При увеличении числа сторон вписанные в одну и ту же окружность правильные многоугольники всё точнее приближают её.
Замостить плоскость одинаковыми правильными выпуклыми многоугольниками одного вида можно треугольниками, квадратами или шестиугольниками. В идеальном разбиении на ячейки равной площади шестиугольная сетка минимизирует общую длину границ. Общий результат, известный как гипотеза о сотах, доказал Томас Хейлз; работа представлена в 1999 году. Это теорема о плоской геометрии, а не самостоятельное объяснение поведения пчёл или расчёт массы воска в реальных объёмных сотах.
Что такое правильный многоугольник простыми словами?
Представьте, что вы вырезаете фигуру из бумаги и хотите, чтобы она выглядела «идеально ровной» с любой стороны. Для этого нужны два условия сразу: все стороны одной длины и все углы одной величины. Если выполнено только одно из них — фигура ещё не правильная. Например, у ромба, не являющегося квадратом, стороны равны, но углы разные; у прямоугольника с неравными соседними сторонами равны углы, но не все стороны. Эти фигуры не правильные, а квадрат удовлетворяет обоим условиям.
А вот квадрат — это правильный четырёхугольник: у него равны и стороны, и углы. Точно так же устроены равносторонний треугольник (3 стороны), правильный пятиугольник (5 сторон), шестиугольник (6 сторон) и так далее. У каждого правильного многоугольника есть центр, равноудалённый от всех вершин, поэтому его всегда можно вписать в окружность.
Как найти углы правильного многоугольника?
Каждый внутренний угол правильного n-угольника равен (n−2)·180°/n. Формула проста: сумма всех углов любого n-угольника равна (n−2)·180°, а раз в правильном все углы одинаковы, эту сумму делят поровну на n углов. Например, для шестиугольника: (6−2)·180°/6 = 720°/6 = 120°.
Есть и второй, «круговой» способ. Соедините центр со всеми вершинами — многоугольник разобьётся на n одинаковых треугольников. Угол при центре в каждом из них называют центральным, и он равен 360°/n. Для шестиугольника это 360°/6 = 60°. Зная центральный угол, внутренний находят как 180° − 360°/n — снова получаем 180° − 60° = 120°.
| Фигура | Сторон n | Внутренний угол | Центральный угол |
|---|---|---|---|
| Треугольник | 3 | 60° | 120° |
| Квадрат | 4 | 90° | 90° |
| Пятиугольник | 5 | 108° | 72° |
| Шестиугольник | 6 | 120° | 60° |
| Восьмиугольник | 8 | 135° | 45° |
Сколько у правильного многоугольника диагоналей?
Число диагоналей любого n-угольника равно n·(n−3)/2. Из каждой вершины нельзя провести диагональ к себе и к двум соседям — остаётся (n−3) диагонали, а делим на 2, чтобы не считать каждую дважды. Для шестиугольника: 6·(6−3)/2 = 9 диагоналей. Формула работает для любого многоугольника, не только правильного.
Где встречаются правильные многоугольники?
Для детей самый знакомый пример — дорожный знак «стоп». Это правильный восьмиугольник, и форму специально выбрали такой, чтобы водитель узнавал знак даже сзади или в снегопад, когда надписи не видно. А ещё правильные многоугольники прячутся в футбольном мяче (правильные пятиугольники и шестиугольники) и в узоре снежинки с её шестью одинаковыми лучами.
Взрослым правильные многоугольники помогают в технике и строительстве. Головки болтов и гаек делают шестиугольными: за шесть равных граней гаечный ключ удобно ухватывается с любой из сторон, а инструмент можно перехватывать через каждые 60°. Правильные шестиугольные плитки укладываются без зазоров по другой геометрической причине: три угла по 120° вокруг общей вершины дают полный угол 360°. Реальный расход плитки зависит также от формы комнаты и обрезки по краям. А знаменитое здание военного ведомства США так и называют — Пентагон, потому что в плане это правильный пятиугольник.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Чему равен внутренний угол правильного пятиугольника?
По формуле (n−2)·180°/n при n = 5: (5−2)·180°/5 = 540°/5 = 108°.
Задача 2. Внутренний угол правильного многоугольника равен 135°. Сколько у него сторон?
Центральный угол = 180° − 135° = 45°. Тогда n = 360°/45° = 8. Это правильный восьмиугольник — как знак «стоп».
Задача 3. Сколько диагоналей у правильного восьмиугольника?
По формуле n·(n−3)/2 при n = 8: 8·5/2 = 20 диагоналей.
Задача 4. Чему равна сумма всех внутренних углов правильного шестиугольника?
Сумма углов n-угольника = (n−2)·180°. При n = 6: (6−2)·180° = 720°. Проверка: 6 углов по 120° дают 720°.
Задача 5. Правильные многоугольники какого вида замостят пол без щелей?
Только три: равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. У них внутренние углы (60°, 90°, 120°) — делители 360°, поэтому фигуры сходятся в точке без зазора.
Немного истории
Правильными многоугольниками занимались ещё древние греки: в четвёртой книге «Начал» Евклида есть построения треугольников, квадрата, пятиугольника и пятнадцатиугольника. В 1796 году Карл Фридрих Гаусс нашёл построение правильного семнадцатиугольника; запись о нём открывает его математический дневник 30 марта. Это важный новый результат, но из него не следует, что до Гаусса две тысячи лет никто не исследовал многоугольники. С именем Гаусса связывают рассказ о желании изобразить 17-угольник на надгробии; математическое содержание открытия не зависит от этой биографической истории. Общий критерий построимости связан со степенями двойки и различными простыми числами Ферма.
Удивительный финал
Кажется, что уж треугольник и квадрат построить легко, а значит и любой другой правильный многоугольник — тоже. Но это не так. Правильный семиугольник или девятиугольник невозможно построить одними циркулем и линейкой, как ни старайся, — это доказано. Зато редкие «счастливчики» вроде 17-, 257- и даже 65537-угольника построить можно. Построимость циркулем и линейкой — отдельный вопрос: из правильности фигуры она автоматически не следует. Геометрическая оптимальность шестиугольной сетки тоже относится к определённой модели, а не ко всем формам в природе.
Частые вопросы
Является ли прямоугольник правильным многоугольником?
Только если это квадрат. У прямоугольника все углы равны (по 90°), но стороны не обязательно равны. Для правильного многоугольника нужны оба условия сразу: равные стороны и равные углы. Прямоугольник становится правильным лишь в частном случае, когда все стороны равны, — тогда это квадрат.
Как вычислить внутренний угол правильного многоугольника?
Используйте формулу (n−2)·180°/n, где n — число сторон. Например, у правильного восьмиугольника угол равен (8−2)·180°/8 = 135°. Можно и через центральный угол: внутренний = 180° − 360°/n. Оба способа всегда дают одинаковый результат.
Почему пчёлы строят соты именно из шестиугольников?
Для идеального разбиения плоскости на ячейки одинаковой площади правильная шестиугольная сетка даёт минимальную общую длину границ. Это уточнение важно: не сравниваются фигуры произвольной площади или объёмы мёда, а расход воска зависит также от толщины и формы реальных стенок. Геометрическая теорема объясняет экономность плоской сетки, но не утверждает, что пчёлы сознательно решают задачу оптимизации.
Можно ли вписать правильный многоугольник в окружность?
Да, любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и описать вокруг другой. У него есть центр, одинаково удалённый от всех вершин, — он и служит центром этих окружностей. Именно поэтому правильные многоугольники так удобно строить с помощью циркуля.
Сколько диагоналей у правильного шестиугольника?
Девять. Число диагоналей считают по формуле n·(n−3)/2: при n = 6 получаем 6·3/2 = 9. Формула одинакова для любого шестиугольника — и правильного, и произвольного, ведь диагонали зависят только от числа вершин.