Параллельные прямые — прямые в одной плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. На фотографии прямого участка железной дороги рельсы кажутся сходящимися из-за перспективы. Это удобная иллюстрация, но не повод выходить на пути: наблюдать их нужно с безопасного места.
В геометрической модели расстояние между параллельными прямыми постоянно; реальные рельсы могут поворачивать и не являются бесконечными прямыми.
Запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны. На чертеже это условие можно обозначить одинаковыми стрелками на обеих прямых. Рисунок помогает увидеть взаимное расположение, но сам по себе не заменяет условие или доказательство: слегка наклонённые прямые могут выглядеть параллельными на коротком участке и всё же пересекаться за пределами листа.
В евклидовой геометрии через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной. В XIX веке были построены другие геометрические системы с иным правилом. В гиперболической геометрии Лобачевского через такую точку проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную. Эти системы не опровергают школьную геометрию: они основаны на других аксиомах.
Что такое параллельные прямые простыми словами?
Чтобы различить параллельные и скрещивающиеся прямые, сначала проверьте, существует ли содержащая обе прямые плоскость. Две различные прямые в одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве есть третий случай: скрещивающиеся прямые не лежат в одной общей плоскости. Например, у куба ABCDA₁B₁C₁D₁ прямые AB и CC₁ скрещиваются: они не пересекаются и не могут быть помещены в одну плоскость.
На рисунке: между прямыми a и b проведены красные перпендикуляры. Их длина d везде одинакова — и слева, и в середине, и справа. Именно это и есть главный признак параллельности: расстояние между линиями не меняется. Если бы прямые хоть чуть-чуть сближались, рано или поздно они бы встретились — и параллельными уже не были.
Как обозначают параллельные прямые?
Для параллельности есть специальный знак — две вертикальные чёрточки ∥. Запись a ∥ b означает «прямая a параллельна прямой b». На чертежах параллельные прямые отмечают одинаковыми стрелочками-«галочками»: если на двух линиях стоят одинаковые стрелки, значит, эти линии параллельны. Это удобный способ показать параллельность, не подписывая её словами.
Как понять, что прямые параллельны?
Чтобы проверить параллельность, прямые пересекают третьей линией — её называют секущей. Секущая образует углы, и по этим углам можно точно сказать, параллельны линии или нет. Есть три признака — достаточно выполнения любого одного из них.
| Пара углов | Как найти | Условие параллельности |
|---|---|---|
| Накрест лежащие внутренние | Между двумя прямыми, по разные стороны секущей | Равны |
| Соответственные | В одинаковом положении у двух пересечений | Равны |
| Односторонние внутренние | Между двумя прямыми, по одну сторону секущей | Сумма 180° |
На рисунке выше показаны соответственные углы ∠1 и ∠2 — они стоят «в одинаковом месте» у обоих пересечений. Если эти углы равны, прямые точно параллельны. Например, если секущая образует с первой прямой угол 65°, и точно такой же угол 65° на том же месте — со второй, то линии параллельны.
Какие свойства у параллельных прямых?
Если про прямые уже известно, что они параллельны, то признаки «работают в обратную сторону» — это их свойства. При пересечении двух параллельных прямых секущей: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°. Эти свойства постоянно используют при решении задач по геометрии, чтобы находить неизвестные углы.
Есть и ещё одно важное свойство-аксиома: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это значит, что «вторую» параллельную через ту же точку провести не получится — она обязательно где-нибудь пересечёт первую.
Как начертить параллельную прямую?
Начертить параллельную прямую проще всего с помощью линейки и угольника. Приложите одну сторону угольника к данной прямой, плотно приставьте к другой его стороне линейку — и держите линейку неподвижно. Затем сдвигайте угольник вдоль линейки в нужное место и проводите линию по той же стороне. Поскольку угольник не повернулся, а только сместился, новая линия будет идти под тем же наклоном — то есть параллельно исходной.
Где параллельные прямые встречаются в жизни?
В прямоугольном плане комнаты противоположные стороны параллельны. Это заданная геометрическая модель: комнаты и здания могут иметь и другой план, поэтому параллельность всех противоположных стен не является общим требованием архитектуры. Горизонтальные полки шкафа дают ещё один пример параллельных плоскостей; их прямые передние края можно моделировать параллельными отрезками. В каждом случае важно уточнить, какую часть предмета сравнивают, а не объявлять весь предмет прямой.
На прямом участке пешеходного перехода длинные края прямоугольных полос служат примером параллельных отрезков. Ещё один пример — строчки в тетради: их продолжения образуют параллельные прямые. У гитарных струн или клавиш пианино форма и расположение могут отличаться, поэтому для модели выбирают конкретные прямые края. На прямых беговых дорожках параллельность боковых линий сохраняет ширину полосы; повороты стадиона уже описывают дугами, а не прямыми.
Задачи для тренировки
Сначала решите задачи, затем сравните рассуждения с ответами.
Задача 1. Секущая пересекает две прямые. Соответственные углы равны 70° и 70°. Параллельны ли прямые?
Да. Если соответственные углы равны — это признак параллельности. Раз оба угла по 70°, прямые параллельны.
Задача 2. Прямые a и b параллельны. Один из односторонних углов равен 110°. Чему равен второй односторонний угол?
Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°. Значит, второй угол: 180° − 110° = 70°.
Задача 3. Могут ли две параллельные прямые иметь хотя бы одну общую точку?
Нет. По определению параллельные прямые не пересекаются, то есть общих точек у них нет вообще. Если у двух прямых есть хотя бы одна общая точка — они пересекающиеся, а не параллельные.
Кто изучал параллельные прямые?
Параллельные прямые подробно описал древнегреческий математик Евклид около 300 года до нашей эры в своих «Началах». Его знаменитый пятый постулат о параллельных линиях математики считали слишком сложным и более двух тысяч лет пытались доказать через другие аксиомы. Все попытки проваливались — и это в итоге привело к великому открытию.
Удивительное продолжение темы
Пятый постулат нельзя вывести из остальных аксиом евклидовой геометрии. Это позволяет рассматривать геометрии с другими правилами параллельности. На сфере роль прямых в отдельной модели играют большие окружности — сечения плоскостями через центр сферы. Любые две различные большие окружности пересекаются в двух противоположных точках. Меридианы — частный пример: они проходят через полюса, но для других больших окружностей точки пересечения не обязаны быть полюсами. Такое сравнение показывает, почему в определении параллельных прямых нужно указывать геометрическую модель. Оно не означает, что школьные признаки можно без изменений применять к поверхности глобуса.
Частые вопросы
Что такое параллельные прямые?
Это две прямые на одной плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Они всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Параллельность обозначают значком ∥. Примеры из жизни — железнодорожные рельсы, строчки в тетради и ступеньки лестницы.
Пересекаются ли параллельные прямые?
Нет, параллельные прямые не пересекаются никогда — у них нет ни одной общей точки. Если кажется, что рельсы сходятся у горизонта, это лишь обман зрения, перспектива. На самом деле расстояние между параллельными линиями всюду одинаковое.
Как обозначается параллельность прямых?
Параллельность обозначают двумя вертикальными чёрточками — значком ∥. Запись a ∥ b читается как «прямая a параллельна прямой b». На чертежах параллельные прямые дополнительно отмечают одинаковыми стрелочками-галочками на каждой линии.
Чем отличаются параллельные прямые от скрещивающихся?
Параллельные прямые лежат в одной общей плоскости и не пересекаются. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной общей плоскости. Например, у куба ABCDA₁B₁C₁D₁ прямые AB и CC₁ скрещиваются. Фразы «лежат в разных плоскостях» недостаточно: параллельные прямые тоже можно поместить в разные плоскости, хотя существует и плоскость, содержащая обе.
Как проверить, что прямые параллельны?
Нужно пересечь их секущей и сравнить углы. Если накрест лежащие или соответственные углы равны, либо сумма односторонних углов равна 180° — прямые параллельны. Достаточно выполнения любого одного из этих трёх признаков.