Натуральные числа — числа для счёта: 1, 2, 3, 4, 5, … В этой статье принимаем ряд, начинающийся с 1; вопрос о включении нуля — отдельная договорённость.
Смысл счёта можно представить без цифр: пусть пастух утром кладёт в мешок по камешку на каждое животное, а вечером убирает по одному камешку за каждого вернувшегося. Если остался один камешек, одному животному не нашлось пары. Это условная модель взаимно однозначного соответствия, а не рассказ о конкретном установленном историческом событии.
Натуральные числа — это числа, которыми мы пользуемся при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее без конца. Они всегда целые и положительные — не бывают ни дробными, ни отрицательными. Ими удобно пересчитывать отдельные предметы или события: яблоки, дни, шаги. Не путайте число и запись: например, 6/3 = 2 и 2,0 = 2 обозначают то же натуральное число 2.
Интересный факт: натуральных чисел бесконечно много, и наибольшего среди них не существует. К любому числу всегда можно прибавить единицу — и получить число ещё больше. Для нуля используют две договорённости: натуральный ряд начинают либо с 1, либо с 0. Это не нерешённая математическая задача и не спор о свойствах нуля. Важно указать определение и придерживаться его; здесь используем ряд от 1.
Положительные числа для счёта входят в более широкий набор целых чисел. Подробное сравнение с нулём и отрицательными значениями: чем отличаются натуральные числа от целых.
Что такое натуральные числа простыми словами?
Натуральные числа — это числа, которые получаются при счёте: 1, 2, 3, 4, 5, … Само слово «натуральные» значит «природные», «естественные» — они возникли естественно, когда людям понадобилось считать. Представьте, что вы раскладываете на столе яблоки и называете их по порядку: «одно, два, три». Каждое следующее яблоко — это следующее натуральное число.
Весь набор таких чисел математики обозначают буквой ℕ (от латинского naturalis) и называют натуральным рядом:
- начинается с числа 1 — это самое маленькое натуральное число;
- каждое следующее число на 1 больше предыдущего;
- ряд не заканчивается никогда — наибольшего числа нет.
Какие числа не являются натуральными?
Натуральные — только для счёта целых предметов. Поэтому к ним не относятся:
| Число | Натуральное? | Почему |
|---|---|---|
| 7 | Да | целое и положительное |
| 0 | Нет, при принятом здесь определении | наш натуральный ряд начинается с 1 |
| −5 | Нет | отрицательное |
| 1/2 | Нет | дробное |
| 3,14 | Нет | значение не целое: дробная часть равна 0,14 |
Где встречаются натуральные числа в жизни?
Ответ: почти везде, где мы что-то пересчитываем или нумеруем. Натуральные числа — это не «школьная абстракция», а инструмент, которым вы пользуетесь каждый день, часто не замечая этого.
Счёт игрушек и конфет
При счёте машинок в коробке можно назвать их по порядку: первая, вторая, третья, четвёртая. Если всего четыре машинки, их количество выражается натуральным числом 4. А чтобы разделить 8 целых конфет поровну между двумя людьми, вычисляем 8 : 2 = 4. Получается по 4 конфеты каждому; и число получателей 2, и результат 4 натуральные.
Нумерация и учёт
Натуральными числами удобно нумеровать страницы книги, последовательные места или годы и считать целые коробки на складе. Например, 12 закрытых коробок — натуральное количество. Но номер дома может содержать букву, место в самолёте — обозначаться «12A», штрихкод — сохранять начальные нули, а версия программы — состоять из нескольких частей, как 1.2.3. Это идентификаторы, и не каждый из них является одним натуральным числом. В учёте также бывают дробные количества: например, полкоробки товара или 2,5 кг. Знак минус может обозначать недостачу или корректировку, а не физически отрицательное число предметов.
Какие бывают натуральные числа?
Натуральные числа можно делить на группы по разным признакам. Вот два самых важных деления:
- Чётные и нечётные. Чётные делятся на 2 без остатка (2, 4, 6, 8…), нечётные — нет (1, 3, 5, 7…).
- Простые и составные. Простое число имеет ровно два различных положительных делителя: 1 и само число (2, 3, 5, 7, 11…). Составное имеет и другие делители (например, 6 = 2 × 3). Единица не относится ни к простым, ни к составным.
Ещё натуральные числа записывают по разрядам: единицы, десятки, сотни, тысячи. Например, в числе 482 — 4 сотни, 8 десятков и 2 единицы: 482 = 400 + 80 + 2.
Задачи для самопроверки
1. Сколько натуральных чисел между 5 и 12?
Это числа 6, 7, 8, 9, 10, 11 — всего 6 чисел (границы 5 и 12 не считаем). Если нужно «от 5 до 12 включительно», то их 8.
2. Назовите наименьшее и наибольшее натуральное число.
Наименьшее — 1. Наибольшего не существует: к любому числу можно прибавить 1 и получить большее.
3. Является ли результат 10 − 10 натуральным числом при ряде от 1?
10 − 10 = 0. При принятом здесь ряде от 1 ноль не является натуральным, поэтому нет. Это показывает: при вычитании можно выйти за пределы натуральных чисел.
Откуда взялись натуральные числа?
Счёт можно фиксировать зарубками, узелками или камешками, но не всякая древняя насечка однозначно доказывает конкретный способ вычисления. Известная находка — кость Ишанго возрастом около 20 000 лет с группами насечек; их точное назначение обсуждают исследователи. Позднее для записи чисел применялись разные системы: римские знаки I, V, X и позиционная запись привычными цифрами. Индийская система счисления распространялась через математиков арабоязычного мира в Европу; поэтому современные цифры называют индийско-арабскими. Это история способов записи, а не изменение самого количества предметов: три камешка и знак 3 могут представлять одно число.
Удивительное напоследок
Натуральных чисел бесконечно много — и это порождает странные вещи. Например, чётных чисел «столько же», сколько всех натуральных вместе взятых, хотя кажется, что их должно быть вдвое меньше. Просто каждому числу 1, 2, 3, … можно поставить в пару его удвоенное 2, 4, 6, … — и пары никогда не закончатся. С этого удивительного факта начинается целая наука о бесконечности.
Частые вопросы (FAQ)
Является ли ноль натуральным числом?
Ответ зависит от принятого определения. Здесь натуральный ряд начинается с 1, поэтому ноль в него не входит. Другая распространённая договорённость начинает ряд с 0. Оба варианта допустимы, если их не смешивать в одной задаче. Поэтому прежде чем отвечать, проверьте определение в условии или учебнике.
Какое самое маленькое натуральное число?
При принятом здесь ряде от 1 самое маленькое натуральное число — это единица (1). Меньше единицы натуральных чисел нет: ноль не считается натуральным, а отрицательные числа и значения с ненулевой дробной частью к натуральным не относятся. Сама дробная запись не мешает числу быть натуральным: например, 4/2 = 2.
Сколько всего натуральных чисел?
Натуральных чисел бесконечно много. Наибольшего натурального числа не существует: к любому, даже самому огромному числу всегда можно прибавить единицу и получить число ещё больше. Поэтому пересчитать их все невозможно — ряд никогда не заканчивается.
Чем натуральные числа отличаются от целых?
Натуральные числа — это только положительные числа для счёта: 1, 2, 3, … Целые числа шире: в них входят натуральные, ноль и отрицательные числа (…, −2, −1, 0, 1, 2, …). Проще говоря, все натуральные числа — целые, но не все целые числа натуральные.
Является ли 1 натуральным числом?
Да, единица — натуральное число, причём самое маленькое. С неё начинается весь натуральный ряд. При этом 1 не относят ни к простым, ни к составным числам — это особый случай, у которого ровно один делитель.