Арифметическая прогрессия: формула и примеры

Прогрессия — это числовая последовательность, члены которой меняются по постоянному правилу. В арифметической прогрессии к каждому члену прибавляют одно и то же число, а в геометрической каждый раз умножают на одно и то же число. Например, 3, 7, 11, 15 — арифметическая прогрессия с шагом 4, а 3, 6, 12, 24 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2.

Ниже разберём, как распознать обе прогрессии, найти отдельный член и сумму, восстановить неизвестные данные и не перепутать похожие формулы. Интерактивный тренажёр позволяет сразу проверить вычисления.

Короткий ответ

Для арифметической прогрессии:

• a_n+1 = a_n + d, где d — постоянная разность;
• a_n = a₁ + (n − 1)d — формула n-го члена;
• S_n = (a₁ + a_n)n / 2 — сумма первых n членов.

Для геометрической прогрессии:

• b_n+1 = b_nq, где q — постоянный знаменатель;
• b_n = b₁qⁿ⁻¹ — формула n-го члена;
• S_n = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1 — сумма первых n членов.

Арифметическая прогрессия: прибавляем одно и то же

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой разность между любыми двумя соседними членами постоянна:

d = a_n+1 − a_n.

Представьте лестницу со ступенями высотой 20 см. Высота первой ступени над полом — 20 см, второй — 40 см, третьей — 60 см: получаем 20, 40, 60, 80, 100. Каждый раз прибавляется 20, поэтому d = 20.

Как распознать арифметическую прогрессию

Вычислите разности всех доступных соседних пар. Для 5, 8, 11, 14 получаем 8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3 и 14 − 11 = 3. Разности одинаковы, значит последовательность арифметическая и d = 3. Одной пары недостаточно: у последовательности 1, 3, 5, 8 первые два шага равны 2, а третий равен 3.

• если d > 0, прогрессия возрастает: 2, 7, 12, 17;
• если d < 0, прогрессия убывает: 12, 8, 4, 0;
• если d = 0, все члены равны: 7, 7, 7, 7;
• разность может быть дробной: 1; 1,5; 2; 2,5 при d = 0,5.

Формула n-го члена

Чтобы перейти от a₁ к a₂, нужен один шаг d; к a₃ — два шага; к a_n — ровно n − 1 шагов. Поэтому:

a_n = a₁ + (n − 1)d.

В прогрессии 3, 7, 11, 15, 19 имеем a₁ = 3 и d = 4. Десятый член равен a₁₀ = 3 + (10 − 1)·4 = 3 + 36 = 39. Проверка формулы при n = 1 даёт a₁ + 0·d = a₁. Если получилось a₁ + d, значит множитель n − 1 ошибочно заменили на n.

Неравенство среднего арифметического и среднего геометрического

Связь с прогрессиями видна по трём членам. В арифметической прогрессии x, m, y средний член m = (x + y)/2. В геометрической прогрессии из положительных чисел x, g, y выполняется g² = xy, поэтому g = √(xy). Сравнить эти два средних позволяет неравенство: для любых неотрицательных x и y среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:

(x + y)/2 ≥ √(xy),   x ≥ 0, y ≥ 0.

Равенство достигается только при x = y. Короткое доказательство следует из неотрицательности квадрата: (√x − √y)² ≥ 0. Раскрывая скобки, получаем x + y − 2√(xy) ≥ 0, а после деления на 2 — нужное неравенство. Например, для x = 4 и y = 9 среднее арифметическое равно 6,5, а среднее геометрическое — 6, поэтому 6,5 ≥ 6.

Как найти неизвестные a₁, d или n

Найти разность

Если известны соседние члены, вычтите предыдущий из следующего: d = a_k+1 − a_k. Для соседних членов 18 и 13 разность равна 13 − 18 = −5. Знак показывает, что последовательность убывает.

Найти первый член

Выразим a₁ из формулы n-го члена: a₁ = a_n − (n − 1)d. Если a₄ = 17 и d = 5, то a₁ = 17 − 3·5 = 2. Проверка: 2, 7, 12, 17.

Найти номер члена

Подставьте заданное число вместо a_n и решите уравнение относительно n. Например, выясним, входит ли 42 в прогрессию с a₁ = 2 и d = 5: 42 = 2 + (n − 1)·5, откуда n − 1 = 8 и n = 9. Значит, 42 — девятый член. Номер должен быть натуральным целым числом: дробное или неположительное значение означает, что заданного числа среди членов нет.

Сумма арифметической прогрессии

Для суммы первых n членов используют две равносильные формулы:

S_n = (a₁ + a_n)n / 2

S_n = [2a₁ + (n − 1)d]n / 2.

Почему это работает? Запишем сумму 1 + 2 + … + 100 сначала в прямом, затем в обратном порядке. В каждом столбце получится 101: 1 + 100, 2 + 99 и так далее. Сто одинаковых пар дают 100·101, но мы сложили исходную сумму дважды, поэтому S₁₀₀ = 100·101/2 = 5050. Этот приём часто связывают со школьной историей о юном Карле Фридрихе Гауссе.

Пример. Для a₁ = 5, d = 3 и n = 20 сначала найдём a₂₀ = 5 + 19·3 = 62. Тогда S₂₀ = (5 + 62)·20/2 = 670. Можно сразу использовать вторую формулу: [2·5 + 19·3]·20/2 = 67·10 = 670.

Геометрическая прогрессия: умножаем на одно и то же

Геометрическая прогрессия в принятом здесь школьном определении — последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число q. Число q называют знаменателем: q = b_n+1/b_n. Поэтому далее b₁ ≠ 0 и q ≠ 0. Последовательности 0, 0, 0, … и b₁, 0, 0, … можно рассматривать отдельно по рекуррентному правилу, но утверждения ниже о знаменателе и сходимости относятся к ненулевым членам.

b_n = b₁qⁿ⁻¹.

В последовательности 2, 6, 18, 54, 162 имеем b₁ = 2 и q = 3. Десятый член: b₁₀ = 2·3⁹ = 39 366. При отрицательном q знаки чередуются: если b₁ = 1 и q = −2, получаем 1, −2, 4, −8, 16.

Легенда о награде за изобретение шахмат показывает скорость такого роста. Если на первую клетку положить одно зерно, а на каждую следующую — вдвое больше, на 64 клетках потребуется 1 + 2 + 4 + … + 2⁶³ = 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 зёрен. Историчность самой легенды не доказана, но расчёт точен.

Сумма геометрической прогрессии

При q ≠ 1 сумма первых n членов равна:

S_n = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

Если q = 1, все члены равны b₁, поэтому S_n = nb₁. Для прогрессии 3, 6, 12, 24, … сумма десяти членов равна 3(2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 3·1023 = 3069.

Формулу удобно получить сдвигом и вычитанием. Пусть S = 1 + 2 + 4 + … + 2⁶³. Тогда 2S = 2 + 4 + … + 2⁶⁴. После вычитания S из 2S все промежуточные слагаемые сокращаются и остаётся S = 2⁶⁴ − 1.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если |q| < 1, члены геометрической прогрессии по модулю приближаются к нулю, а бесконечная сумма имеет конечное значение:

S_∞ = b₁/(1 − q).

Например, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = (1/2)/(1 − 1/2) = 1. Это помогает понять парадокс Зенона: половина пути, затем половина остатка и так далее образуют бесконечную последовательность отрезков, но их общая длина конечна. Формулу нельзя применять при |q| ≥ 1: в таком случае члены не стремятся к нулю и сумма не сходится.

Где прогрессии встречаются в задачах и жизни

• Ряды мест в зале. Если в первом ряду 12 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, числа 12, 14, 16, … образуют арифметическую прогрессию.
• Равномерное изменение. Если температура каждый час уменьшается на 1,5 °C, значения образуют арифметическую прогрессию с d = −1,5.
• Сложные проценты. Вклад 100 000 рублей под 10% годовых с ежегодной капитализацией меняется как 100 000, 110 000, 121 000, 133 100. Это геометрическая прогрессия с q = 1,1. Через 30 лет без дополнительных взносов получится примерно 1 744 940 рублей. Для сравнения, при простых процентах без капитализации ежегодно добавлялось бы 10 000 рублей, а итог составил бы 100 000+30·10 000=400 000 рублей: это арифметический, а не геометрический рост.
• Отскоки мяча. Если после каждого удара высота составляет 70% предыдущей, высоты 100, 70, 49, 34,3, … образуют геометрическую прогрессию с q = 0,7.
• Рост культуры клеток. В идеализированной модели удвоение числа клеток через равные промежутки времени даёт геометрическую прогрессию. В реальности ресурсы ограничены, поэтому постоянный рост не продолжается бесконечно.
• Радиоактивный распад. Если за каждый одинаковый промежуток остаётся постоянная доля вещества, последовательность оставшихся количеств геометрическая.

Решённые задачи

1. Найти член арифметической прогрессии

Дано a₁ = 5, d = 3. Найдём a₂₀: a₂₀ = 5 + 19·3 = 62. Между первым и двадцатым членами именно 19 переходов.

2. Восстановить первый член

Известно a₇ = 31 и d = 4. Тогда a₁ = 31 − (7 − 1)·4 = 31 − 24 = 7. Проверка: a₇ = 7 + 6·4 = 31.

3. Найти сумму геометрической прогрессии

Дано b₁ = 3, q = 2, n = 10. Тогда b₁₀ = 3·2⁹ = 1536, а S₁₀ = 3(2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 3069.

4. Найти бесконечную сумму

Для ряда 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + … имеем b₁ = 1 и q = 1/3. Поскольку |q| < 1, S_∞ = 1/(1 − 1/3) = 3/2.

Типичные ошибки

• Пишут nd вместо (n − 1)d. Проверьте формулу при n = 1.
• Теряют знак разности. Вычисляйте «следующий член минус предыдущий».
• Проверяют только одну пару. Сравните все доступные соседние разности или отношения.
• Путают a_n и S_n. Первое обозначает один член, второе — сумму первых n членов.
• Путают разность и знаменатель. В арифметической прогрессии вычитают, в геометрической делят.
• Применяют бесконечную сумму без условия. Формула b₁/(1 − q) работает только при |q| < 1.
• Не проверяют номер. Индекс члена должен быть натуральным целым числом.

Задачи для самопроверки

1. Найдите a₁₅, если a₁ = 4 и d = 6.
2. Является ли последовательность 20, 15, 10, 5, 1 арифметической?
3. Найдите сумму первых 20 членов прогрессии 5, 8, 11, …
4. Есть ли число 52 в прогрессии 7, 12, 17, …?
5. Найдите b₈, если b₁ = 2 и q = 3.
6. Найдите сумму 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + …

Показать ответы

1. a₁₅ = 4 + 14·6 = 88.
2. Нет: первые разности равны −5, а последняя равна −4.
3. a₂₀ = 5 + 19·3 = 62; S₂₀ = (5 + 62)·20/2 = 670.
4. Да: 52 = 7 + (n − 1)·5, откуда n = 10.
5. b₈ = 2·3⁷ = 4374.
6. S_∞ = 1/(1 − 1/4) = 4/3.

Исторический контекст

Задачи на последовательности появились задолго до современной алгебраической записи. В древнеегипетском математическом папирусе Ринда встречается задача о распределении хлеба с постоянной разницей между долями. Позднее правила суммирования последовательностей развивали математики разных традиций. Современные обозначения a_n, d и q удобны тем, что отделяют структуру задачи от конкретных чисел.

История о том, как юный Гаусс быстро сложил числа от 1 до 100, известна в нескольких версиях и обычно приводится как иллюстрация попарного сложения, а не как источник самой формулы. Важен математический ход: первый и последний, второй и предпоследний члены арифметической прогрессии дают одинаковые суммы.

Частые вопросы

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?

В арифметической прогрессии постоянна разность соседних членов, а в геометрической из ненулевых членов — их отношение. Арифметическая зависимость от номера линейна. При q > 0 геометрическую прогрессию можно связать с показательной зависимостью; при q < 0 знаки чередуются, и говорить об обычной действительной показательной функции с таким основанием нельзя.

Может ли разность арифметической прогрессии быть отрицательной?

Да. Последовательность 100, 95, 90, 85 имеет d = −5 и убывает. Нулевая разность тоже допустима: при d = 0 все члены равны.

Может ли знаменатель геометрической прогрессии быть отрицательным?

Да. При b₁ = 1 и q = −2 получаем 1, −2, 4, −8, 16. Знаки чередуются, а модули членов увеличиваются вдвое.

Что связывает три соседних члена арифметической прогрессии?

Средний член равен среднему арифметическому соседних: 2a_n = a_n−1 + a_n+1. Например, для 7, 11, 15 имеем 2·11 = 7 + 15.

Что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия?

Это геометрическая прогрессия с |q| < 1. Модули её членов стремятся к нулю, а бесконечную сумму можно вычислить по формуле S_∞ = b₁/(1 − q).

Что такое сложные проценты?

При капитализации процент начисляется не только на первоначальную сумму, но и на ранее начисленные проценты. Если ставка за период равна r в долях единицы, сумма каждый раз умножается на q = 1 + r и образует геометрическую прогрессию.

Что изучать дальше

Чтобы изображать последовательность точками (n; a_n), пригодится координатная плоскость и понятие функции. При преобразовании формул сумм используют правила работы с многочленами. Для сравнения с периодическими зависимостями можно отдельно обратиться к тригонометрическим функциям: это смежная тема, а не необходимое условие решения задач на прогрессии.

Для продолжения темы полезно связать прогрессии с линейной функцией, свойствами степеней и логарифмической функцией. Арифметическая прогрессия соответствует постоянному приращению, а геометрическая — постоянному коэффициенту изменения.

Материал подготовлен редакцией STEMskills. Об образовательном проекте.