Логарифмическая функция y = logax возвращает показатель степени: y = logax означает ay = x. Здесь a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Например, log₂8 = 3, потому что 2³ = 8.
При a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает; в обоих случаях проходит через точку (1; 0).
Логарифмические шкалы помогают сравнивать величины, различающиеся во много раз. При увеличении магнитуды землетрясения с 6 до 7 разница амплитуд, используемых в шкале с поправками на условия измерения, составляет десять раз, а выделенной энергии примерно 32 раза. Магнитуда не измеряется в баллах интенсивности и не определяет одинаковую силу тряски в каждом месте: важны расстояние и местные условия. Ниже посмотрим, как такие отношения превращаются в разность логарифмов.
В начале XVII века таблицы логарифмов помогали упрощать трудоёмкие вычисления, в том числе астрономические. Джон Непер опубликовал свои таблицы в 1614 году. В современной записи свойство выглядит так: loga(uv) = logau + logav при u > 0, v > 0 и допустимом основании. Для произведения по таблицам складывали логарифмы и затем находили соответствующее число. Это же свойство лежит в основе умножения на логарифмической линейке.
Связь со степенью подробнее разобрана в объяснении логарифмов. Преобразования суммы, произведения и частного опираются на свойства логарифмов; каждое правило требует проверки области определения.
Что такое логарифмическая функция простыми словами?
Показательная функция по показателю даёт число: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Здесь три одинаковых множителя, а не три операции умножения. Логарифмическая функция возвращает показатель: log₂8 = 3. Показатель может быть нулевым, отрицательным или дробным: log₂1 = 0, log₂(1/4) = −2, log₄2 = 1/2. Поэтому определение через «сколько раз умножить» подходит не для всех аргументов; надёжнее проверка ay = x.
Записывают её как y = logax, где a — основание (a > 0 и a ≠ 1), а x — положительное число под знаком логарифма. Особенно часто встречаются два основания: десятичный логарифм lg x (основание 10) и натуральный логарифм ln x (основание e ≈ 2,718).
Как выглядит график логарифмической функции?
При a > 1 график плавно возрастает: для log₂x удвоение аргумента каждый раз прибавляет 1 к значению, например 1 → 0, 2 → 1, 4 → 2, 8 → 3. При 0 < a < 1 направление другое: log1/2(1/2) = 1, log1/21 = 0, log1/22 = −1. Обе кривые проходят через (1; 0), но только первая возрастает. Поэтому вид Рис. 1 нельзя переносить на любое основание без проверки.
Ключевая особенность: кривая существует только справа от оси y, ведь логарифм определён лишь для положительных x. Сама ось y (прямая x = 0) служит вертикальной асимптотой — график подходит к ней вплотную, но никогда не касается.
Какие основные свойства у логарифмической функции?
Все свойства удобно собрать в один список — они напрямую видны на графике.
- Область определения: только положительные x (x > 0). В действительных числах логарифм от нуля и отрицательных аргументов не определён.
- Область значений: все числа — от минус до плюс бесконечности.
- Общая точка: график всегда проходит через (1; 0), ведь loga1 = 0 при любом допустимом основании a > 0, a ≠ 1.
- Монотонность: если основание a > 1, функция возрастает; если 0 < a < 1, она убывает.
- Связь со степенью: она обратна показательной функции y = ax и зеркальна ей относительно прямой y = x.
Проверим точку на конкретных числах: log₂4 = 2, потому что 2² = 4. И действительно, на графике из Рис. 1 точка (4; 2) лежит на кривой. Всё сходится.
Где логарифмическая функция встречается в жизни?
Ответ: всюду, где величины меняются не на «столько-то», а «во столько-то раз» — звук, землетрясения, кислотность, рост вкладов.
Игра «угадай число»
Пусть загадано целое число от 1 до 1000. Можно задавать вопросы с ответами «да» или «нет», например «число не больше 500?», каждый раз разделяя оставшиеся варианты на две примерно равные группы. Десяти ответов достаточно: 2⁹ = 512 < 1000 ≤ 1024 = 2¹⁰, поэтому минимальное гарантированное число таких шагов равно округлённому вверх log₂1000 ≈ 9,97. Это идея двоичного поиска в упорядоченных данных, а не оценка скорости любой компьютерной программы.
Звуковые уровни и землетрясения
Для уровня интенсивности звука разность уровней равна ΔL = 10 lg(I₂/I₁) дБ. При прибавке 10 дБ интенсивность увеличивается в 10 раз. Если сравнить условные уровни 110 и 60 дБ, разность 50 дБ соответствует 10⁵ = 100000 раз по интенсивности, а не такому же отношению субъективной громкости. Для звукового давления используется другой коэффициент: 20 lg(p₂/p₁) при одинаковых условиях среды. Землетрясения также описывают логарифмически: разность магнитуд 1 соответствует примерно 32 разам по энергии. Конкретная тряска в месте наблюдения зависит не только от магнитуды.
Задачи для самопроверки
1. Чему равно log₂16?
Ищем степень, в которую надо возвести 2, чтобы получить 16. Так как 2⁴ = 16, ответ: 4.
2. Чему равно lg 1000 (десятичный логарифм)?
Основание 10. Поскольку 10³ = 1000, получаем lg 1000 = 3.
3. При каком x выполняется log₃x = 2?
По определению это значит 3² = x, то есть x = 9.
4. Может ли логарифмическая функция принимать значение в точке x = 0?
Нет. Область определения — только положительные x, а x = 0 в неё не входит. Прямая x = 0 является вертикальной асимптотой графика. Значения не существует.
Кто придумал логарифмы?
Джон Непер опубликовал таблицы логарифмов в 1614 году. Генри Бригс развивал десятичные таблицы; его «Logarithmorum chilias prima» вышла в 1617 году. Позднее Эйлер исследовал показательные и логарифмические функции, в частности в «Introductio in analysin infinitorum» 1748 года. Натуральный логарифм связан и с площадью под гиперболой y = 1/x: для x > 1 площадь от 1 до x равна ln x. Это математическая связь, а не утверждение об одном авторе всех её исторических этапов. До распространения электронных калькуляторов инженеры широко пользовались логарифмическими линейками.
Логарифмическая модель восприятия
Логарифмическая зависимость используется и в модели Вебера–Фехнера: при определённых допущениях изменение ощущения связывают с отношением интенсивностей раздражителя. Это не универсальное правило работы всех чувств при любых условиях. Одна и та же свеча заметнее на тёмном фоне, чем на ярком, но восприятие зависит также от адаптации, фона и конкретного вида воздействия. Такой пример помогает понять роль относительного изменения; он не доказывает, что каждое ощущение в точности равно логарифму.
Частые вопросы (FAQ)
Что такое логарифмическая функция?
Это функция y = logax при a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Она возвращает показатель y из равенства ay = x и обратна показательной функции с тем же основанием. Например, log₂8 = 3, потому что 2³ = 8.
Какова область определения логарифмической функции?
Только положительные числа: x > 0. Логарифм от нуля и от отрицательных чисел не существует, поэтому график расположен правее оси y. Сама ось y служит вертикальной асимптотой кривой. Область значений при этом — все действительные числа.
Чем логарифмическая функция отличается от показательной?
Они обратны друг другу. Показательная функция по показателю даёт число (2³ = 8), а логарифмическая по числу возвращает показатель (log₂8 = 3). На графике они зеркальны относительно прямой y = x, то есть как бы меняют местами оси x и y.
Когда логарифмическая функция возрастает, а когда убывает?
Это зависит от основания a. Если a > 1, функция возрастает: чем больше x, тем больше y. Если 0 < a < 1, функция убывает. В обоих случаях график проходит через точку (1; 0), потому что логарифм единицы всегда равен нулю.
Где применяется логарифмическая функция?
Примеры логарифмических шкал: магнитуда землетрясений, звуковые уровни в децибелах, pH в химии и звёздные величины в астрономии. При модели сложных процентов логарифм помогает найти число периодов по известному росту, а двоичный поиск требует порядка log₂n шагов. Это разные применения; само слово «рост» ещё не означает логарифмическую зависимость.
Проверьте себя
При каких x определена функция y = log_2 x?
При x > 0.
log_2 8 равен чему?
3, потому что 2^3 = 8.
График y = log_3 x возрастает или убывает?
Возрастает, потому что основание 3 больше 1.
Что изучать дальше
Для продолжения темы сравните графики y = 2x и y = log₂x, затем проверьте, как меняется направление графика при основании 1/2. В STEMskills можно создать аккаунт; доступные материалы и условия обучения следует смотреть на страницах программ.