Показательные функции

Через удвоение шутки от 3 до 3072 человек откройте, что такое показательный рост

Следите за удвоением шутки от 1 до 128 и выведите формулу f(n) = 2^n показательной функции

Через утраивающуюся шутку откройте формулу $f(n) = 3^n$ и сравните с удвоением

Видео со злой кошкой каждый день умножает число зрителей на 10 — разберёмся, как описать такой рост степенями десятки

Научитесь определять начальное значение $a$ в показательной функции $f(n) = a \cdot b^n$

Постройте формулу f(n) = a · 2^n на сюжете распространения мема в соцсетях

Постройте формулу показательного роста для распространения мема и видео в соцсетях

Находим коэффициент и основание показательной функции по значениям в точках 0 и 1.

Находим основание и начальное значение по двум последовательным значениям функции.

Узнайте, что происходит, когда основание показательной функции — дробь между 0 и 1: значение убывает экспоненциально

Показательная функция $y = a \cdot b^n$ с дробным основанием $0 < b < 1$ описывает процесс убывания: чем меньше основание, тем быстрее падение.

По таблице данных определите начальное значение и основание убывающей функции $f(n) = a \cdot \left(\frac{1}{k}\right)^n$

Запишите показательное убывание через отрицательный показатель: a·b^{-n}

Сравните линейный и показательный рост и убедитесь: показательный рано или поздно обгоняет линейный — всегда

Сравните показательный и квадратичный рост и убедитесь: показательный рано или поздно всегда побеждает

Сравните две показательные функции и убедитесь: бо́льшее основание всегда побеждает в долгосрочной перспективе

Сравните две убывающие показательные функции и выясните, от чего зависит скорость убыли

Откройте, что такое основание показательной функции, находя постоянный множитель роста

Постройте показательную функцию по отмеченным точкам графика, находя основание и коэффициент

Находите начальное значение $A$ показательной функции $f(x) = A \cdot b^x$ по известным точкам графика

Научитесь работать с показательными функциями, у которых основание — дробь или десятичное число

Стройте показательные функции с основанием между 0 и 1 — модель затухания

Стройте показательные функции с дробными основаниями и сравнивайте их: для роста побеждает большее основание, для убывания — меньшее (ближе к нулю)

Поймите, как процентный прирост за период превращается в множитель роста и почему многократный рост — это показательная функция

Формализуйте понятие «сложный процент» и применяйте формулу $a \cdot (1+r)^n$ к разным вкладам, ставкам и периодам

Поймите, как процентная потеря за период становится множителем убыли и почему многократная потеря — это показательная функция с основанием меньше 1

Сравните два показательных процесса: разные ставки роста и обесценивание автомобилей. Поймите, как меньшая ставка обесценивания может «обогнать» бóльшую начальную стоимость.

Научитесь «шагать» по показательной функции: вправо — умножать на основание, влево — делить.

Научитесь переходить сразу на несколько шагов по показательной функции, используя правило $b^k$

Каждый шаг влево по показательной функции — это деление на основание. Учимся вычислять значения при отрицательных x, в том числе когда основание нужно найти самим

Поймите, что преобразование $x \to -x$ отражает график показательной функции относительно оси $y$

Восстанавливайте значения показательной функции, используя соотношение f(x+1) = b · f(x), даже когда заданы точки с отрицательными x

Узнайте, как находить значения показательной функции в полуцелых точках через квадратный корень из основания

Постройте выражение для значения показательной функции в точке, сдвинутой на дробное расстояние от известной.

Учимся вычислять значение показательной функции при дробном сдвиге аргумента: знак показателя зависит от направления шага, а основание $1/c$ удобно переписать как $c^{-p}$

Восстанавливайте показательную функцию $f(x) = a \cdot b^x$ по двум точкам с шагом $\tfrac{1}{2}$ или $\tfrac{1}{3}$.

Научитесь по значению показательной функции $f(x) = b^x$ восстанавливать показатель степени $x$

Введите нотацию обратной функции $f^{-1}(y)$ для $f(x) = 2^x$ и научитесь вычислять её значения.

Обозначение $g^{-1}(y)$ для обратной функции к $g(x) = b^x$ и вычисление её значений

Постройте график обратной функции к $f(x) = 2^x$ и познакомьтесь с записью $\log_2(x)$.

Познакомьтесь с десятичным логарифмом — функцией, обратной к $10^x$ — и научитесь вычислять $\log_{10}$ от целых и дробных степеней десяти.

Познакомьтесь с записью log_b(x) и научитесь по таблице значений определять основание логарифма

Найдите, на какой день значение функции дорастёт до заданного числа — первое знакомство с логарифмом.

Определение логарифма: любое равенство со степенью можно переписать через логарифм и наоборот.

Логарифм по основанию $2$ как функция, обратная к $2^x$: по значению возвращаем показатель.

Обобщаем: функция, обратная к $b^x$, — это $\log_b(x)$, и работает это для любого основания.

Логарифм числа между $0$ и $1$ отрицателен: разбираемся, почему, и учимся его вычислять.

Дробный показатель — это корень: разбираемся, почему $\log_8(2) = \frac{1}{3}$, и учимся считать такие логарифмы.

Отработка навыка: чтобы найти $\log_b(y)$, подберите показатель $x$, при котором $b^x = y$.

Логарифм редко бывает целым — научимся зажимать его между двумя соседними целыми числами.

Строим график логарифма как отражение показательной функции и учимся узнавать основание по графику.

Почему под логарифмом может стоять только положительное число — и как из этого находить область определения.

Что происходит с логарифмом, когда основание меньше единицы: знаки переворачиваются.

Как отличить график показательной функции от логарифма и увидеть по картинке, больше основание единицы или меньше.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов — открываем правило на числах и учимся им пользоваться.

Почему логарифм произведения равен сумме логарифмов — вывод из определения и первые преобразования выражений.

Логарифм частного равен разности логарифмов — правило, которое следует из свойства произведения.

Показатель степени выносится за знак логарифма множителем — и это следствие свойства произведения.

Выводим свойство логарифма степени из свойства степени степени — и считаем один и тот же логарифм тремя способами.

Каждое свойство логарифма — это готовое преобразование графика: произведение и частное сдвигают кривую, степень растягивает.

Одно и то же число в основаниях 2, 4 и 8 — и почему графики $\log_2(x)$, $\log_4(x)$, $\log_8(x)$ отличаются только растяжением.

Выражаем $\log_2(x)$ через десятичные логарифмы: множитель $\frac{1}{\log_{10}(2)} \approx 3{,}32$ и откуда он берётся.

Общая формула $\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}$: выводим её и применяем к любым парам оснований.

Смена основания — это растяжение графика по вертикали: находим множитель для любой пары оснований.

Неизвестное сидит в показателе — снимаем его логарифмированием обеих частей уравнения.

Обратная задача: логарифм снимают, возводя обе части в степень по общему основанию.

Если слева и справа логарифмы с одним основанием, их можно просто убрать — и решать то, что осталось.

После снятия логарифмов может появиться число, которое исходному уравнению не подходит, — посторонний корень.

Свойства произведения, частного и степени сворачивают любую часть в один логарифм — и уравнение решается.

Преобразование меняет область определения — и у преобразованного уравнения корней становится больше, чем у исходного.

Отсеиваем посторонние корни, проверяя область определения исходных логарифмов.