Тригонометрические функции

Откройте, что длина единичной окружности равна 2π, и научитесь находить длину любой дуги как долю от 2π.

Обобщите формулу длины дуги на окружности любого радиуса и решайте прямые и обратные задачи.

Узнайте, что отношение длины дуги к радиусу определяет угол в радианах, и свяжите радианы с долями полного оборота.

Сопоставь опорные точки единичной окружности с углами, кратными π/2, и открой периодичность косинуса и синуса.

Вычисляй косинус и синус для специальных углов в радианах и применяй свойство дополнительных углов.

Запомни табличные значения синуса и косинуса для специальных углов первой четверти.

Находи углы с отрицательным косинусом во 2-й и 3-й четвертях, используя отражения опорного угла.

Находи углы с отрицательным синусом в 3-й и 4-й четвертях, используя отражения опорного угла.

Находи парные углы с одинаковым значением косинуса или синуса, используя отражения относительно осей.

Изучите, как синус и косинус ведут себя при отрицательных углах: косинус чётный, синус нечётный.

Узнайте, что сдвиг синуса или косинуса на π меняет знак всех значений, и научитесь упрощать выражения вида cos(θ+3π).

Изучите цикл сдвигов на π/2: sin → cos → −sin → −cos, и научитесь связывать синус и косинус через фазовый сдвиг.

Изучите, как синус и косинус определены для любого угла через сопряжённые углы, и поймите, что их период равен 2π.

Исследуйте, как $x$-координата точки на единичной окружности порождает график косинуса, и найдите опорные значения.

Исследуйте, как $y$-координата точки на единичной окружности порождает график синуса, и найдите опорные значения.

Вычисляем арксинус и строим график обратной функции к синусу.

Находим угол по значению его косинуса.

Вычисляем арктангенс и строим график обратной функции к тангенсу.

Строим график арккосинуса и ограничиваем его область значений промежутком от 0 до π.

Решаем уравнения вида cos θ = c с помощью арккосинуса и записываем все их решения.

Решаем уравнения вида sin θ = c с помощью арксинуса и записываем все их решения.

Научитесь находить амплитуду периодической функции и связывать её со средней линией.

Изучите, как горизонтальный сдвиг на период оставляет график неизменным, и восстановите полный график по одному периоду.

Определите среднюю линию периодической функции как среднее максимума и минимума.

Определите период периодической функции и научитесь вычислять значения в далёких точках.

Научитесь распознавать периодические явления и использовать периодичность для предсказания будущих значений.

Исследуйте периодические колебания численности хищников и жертв и связь между ними.

Косинус измеряет x-координату точки, вращающейся по единичной окружности.

При скорости ω период координаты равен 2π/ω.

Синус измеряет y-координату точки, вращающейся по единичной окружности.

Вывод и применение тождества sin²θ + cos²θ = 1.

Координаты точки на окружности как стороны прямоугольного треугольника: x=r·cos(θ), y=r·sin(θ).

Точные значения cos(45°)=sin(45°)=√2/2, выведенные из геометрии.

Точные значения sin(30°)=1/2 и cos(30°)=√3/2; связь синуса и косинуса углов 30° и 60°.

Точные значения cos и sin для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Углы в сумме дающие 90° меняют местами синус и косинус: sin(θ) = cos(90° − θ).

Любая точка единичной окружности имеет координаты (cos(θ), sin(θ)).

Косинус угла — это x-координата точки на единичной окружности.

Синус угла — это y-координата точки на единичной окружности.

Единичная окружность: углы по часовой и против часовой стрелки, положительные и отрицательные углы.

Решение уравнений вида sin(ωt)=C подстановкой θ=ωt.

Выражаем sin/cos алгебрически и находим углы по единичной окружности.

Все решения уравнения с периодической функцией: x = x_j + kP.

Основные решения на [0,2π) порождают бесконечные семейства решений.

Квадратные уравнения в sin/cos: до четырёх решений на [0,2π).

Тангенс как угловой коэффициент радиальной прямой: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ).

Тангенс как отношение противолежащего катета к прилежащему: tan(θ)=y/x.

Точные значения tan(π/6), tan(π/4), tan(π/3) и поведение при приближении к π/2.

Знак тангенса по четвертям, период π: tan(θ)=tan(θ+π).

График тангенса, асимптоты и анализ интервалов.

Изучите, как умножение аргумента на ω сжимает или растягивает тригонометрический график по горизонтали.

Научитесь находить период тригонометрической функции и подбирать коэффициент ω для заданного периода.

Научитесь строить тригонометрические функции с любым рациональным периодом, используя опорную функцию sin(2πx).

Научитесь управлять амплитудой тригонометрической функции и комбинировать амплитуду с периодом.

Научитесь сдвигать среднюю линию тригонометрической функции и комбинировать сдвиг с периодом и амплитудой.

Научитесь определять фазовый сдвиг тригонометрической функции по начальному значению и направлению, и комбинировать его с изменением периода.

Научитесь определять все параметры тригонометрической функции (A, M, ω, φ) по графику и комбинировать преобразования.

Определяйте углы через их положение относительно полного и половинного круга.

Изучите сопряжённые углы — углы, указывающие на одну и ту же точку единичной окружности.

Научитесь переводить градусную меру угла в радианную через долю полного круга.

Изучите отрицательные углы и их связь с сопряжёнными углами единичной окружности.

Научитесь переводить радианную меру угла в градусную через долю полного круга.