Объём прямоугольного параллелепипеда находят по формуле V = a · b · c: перемножают длину, ширину и высоту в одинаковых единицах. Для коробки 5 × 3 × 4 см получается 60 см³. По внутренним размерам можно вычислить геометрическую вместимость, но одного объёма недостаточно, чтобы проверить, пройдёт ли диван через проём и поместится ли в багажнике.
Для внутренней вместимости измеряют внутреннее пространство; для объёма воды вместо полной высоты подставляют высоту водяного слоя. Результат записывают в кубических единицах.
Для расчёта коробки выберите в калькуляторе режим «Прямоугольный параллелепипед» и задайте все три размера в одинаковых единицах.
Три измерения a, b и c соответствуют взаимно перпендикулярным рёбрам, выходящим из одного угла. Коробку 5 × 3 × 4 см можно заполнить ровно 60 кубиками со стороной 1 см, уложенными без зазоров. Вместимость холодильника на 300 л или аквариума на 200 л тоже выражают объёмом, но для реального изделия внутренние перегородки, оборудование и допустимый уровень заполнения учитывают отдельно.
В древнеегипетском папирусе Ринда, который часто датируют приблизительно 1650 годом до н. э., есть задачи о вместимости зернохранилищ. Например, в задаче 44 перемножают три размера прямоугольного хранилища. Это свидетельство древнего применения расчёта, а не доказательство того, что вся геометрия началась именно с амбаров. Название «параллелепипед» связано с греческими словами о параллельных плоскостях: у такого тела противоположные грани попарно параллельны.
Что такое прямоугольный параллелепипед?
Это объёмная фигура, у которой шесть граней и все они — прямоугольники. Проще говоря, это «коробка»: спичечный коробок, кирпич, аквариум, комната. У такого тела три измерения — длина, ширина и высота, и все углы прямые.
Если все рёбра равны, получается частный случай — куб. Любой кубик из набора, игральная кость или кубик Рубика — это параллелепипед, у которого a = b = c. Поэтому формула объёма куба V = a³ — просто та же самая V = a · b · c, где все стороны одинаковы.
Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда?
Объём равен длине, умноженной на ширину и высоту: V = a · b · c. Все три стороны должны быть в одних и тех же единицах, а объём получится в кубических единицах — кубических сантиметрах, кубических метрах и так далее.
Возьмём коробку с измерениями a = 5 см, b = 3 см, c = 4 см. Тогда V = 5 · 3 · 4 = 60 см³. Порядок умножения не важен: 3 · 4 · 5 даст те же 60. Главное — не перепутать единицы: если одна сторона в метрах, а другая в сантиметрах, ответ будет неверным.
Почему объём считается именно так?
Для коробки с целым числом единиц вдоль каждого ребра объём можно посчитать по единичным кубикам: они укладываются ровными слоями. Если размеры дробные, выбирают более мелкую единицу, а не считают только целые кубики. Например, 1,5 × 2 × 1 см дают 3 см³, хотя по длине 1,5 см помещается лишь один целый сантиметровый кубик.
Посмотрите на Рис. 2. Дно коробки 5 × 3 — это прямоугольник, на котором помещается 5 · 3 = 15 кубиков (один слой). Высота равна 4, значит таких слоёв ровно 4. Всего кубиков: 15 · 4 = 60. Отсюда видно и другую запись формулы: объём = площадь основания × высота, ведь площадь дна как раз равна a · b.
Как перевести объём в литры?
Очень просто: 1 литр — это ровно 1 кубический дециметр, то есть кубик 10 × 10 × 10 см = 1000 см³. Значит, чтобы перевести кубические сантиметры в литры, делят на 1000.
Если внутренние размеры аквариума равны 50 × 30 × 40 см, его полная геометрическая вместимость составляет 60 000 см³ = 60 л. Для воды считают высоту именно водяного слоя: при уровне 35 см получится 50 · 30 · 35 = 52 500 см³ = 52,5 л до вычета объёма грунта и оборудования. Поэтому литры удобны для описания вместимости, но наружные размеры не заменяют внутренние.
Где формула объёма нужна в жизни?
Формула помогает рассчитывать объём жидкости в прямоугольной ёмкости, бетонной плиты и свободного пространства коробки. Для вещей и груза дополнительно проверяют форму, размеры проёма и способ укладки: одинаковый объём ещё не означает одинаковую вместимость по числу предметов.
Коробка с кубиками
Пусть внутри коробки укладывается 6 одинаковых кубиков в длину, 4 в ширину и 3 в высоту. При плотной укладке ровными рядами войдёт 6 · 4 · 3 = 72 кубика. Для кусочков сахара или деталей конструктора такой подсчёт применим лишь после проверки формы и размеров: между неровными предметами остаются пустоты. Сумма их собственных объёмов даёт необходимое, но не достаточное условие размещения.
Бетонная плита
Для дорожки нужна прямоугольная бетонная плита длиной 4 м, шириной 2 м и толщиной 0,1 м. Её геометрический объём равен 4 · 2 · 0,1 = 0,8 м³. Реальный заказ может учитывать потери и особенности работ; сама формула не устанавливает размер запаса. Так же вычисляют объём комнаты или контейнера. Однако для выбора кондиционера нужны и другие данные, а для загрузки контейнера, помимо объёма, проверяют размеры и массу груза.
Задачи для самопроверки
1. Найдите объём коробки 2 × 3 × 4 см.
V = 2 · 3 · 4 = 24 см³.
2. Чему равен объём куба с ребром 5 см?
У куба все стороны равны: V = 5 · 5 · 5 = 125 см³.
3. Сколько литров в баке 40 × 50 × 20 см?
V = 40 · 50 · 20 = 40 000 см³. Делим на 1000: 40 литров.
4. Длина 8 м, ширина 3 м, объём 48 м³. Какова высота?
Высота = объём : (длина · ширина) = 48 : (8 · 3) = 48 : 24 = 2 м.
Как находили объём в древности?
Задачи о зернохранилищах в папирусе Ринда показывают, что объём использовали для хозяйственных расчётов уже в Древнем Египте. В книге XI «Начал» Евклида рассматриваются объёмы параллелепипедов: предложение 31 устанавливает равенство тел с равными по площади основаниями и одинаковой высотой, включая наклонные. Это геометрическое сравнение, а не буквальное заполнение единичными кубиками, показанное на Рис. 2. Современная запись V = a · b · c удобно выражает тот же принцип для прямоугольной коробки.
Удивительное напоследок
Удвоить объём не значит удвоить все стороны. При увеличении каждого ребра коробки в 2 раза площадь каждой грани растёт в 4 раза, а объём в 8 раз: 2 · 2 и 2 · 2 · 2. Это соотношение называют законом квадрата и куба. Для геометрически подобных тел при одной и той же плотности масса тоже увеличивается в 8 раз. Поэтому масштабирование модели затрагивает не только длины: площади и объёмы меняются с разными степенями коэффициента.
Частые вопросы (FAQ)
Как найти объём прямоугольного параллелепипеда?
Нужно перемножить три его измерения: длину, ширину и высоту. Формула объёма прямоугольного параллелепипеда — V = a · b · c. Например, для коробки со сторонами 5, 3 и 4 см объём равен 5 умножить на 3 умножить на 4, то есть 60 кубических сантиметров.
В каких единицах измеряется объём?
Объём измеряется в кубических единицах: кубических сантиметрах, кубических метрах, кубических миллиметрах. Если стороны заданы в сантиметрах, объём получится в кубических сантиметрах. Для жидкостей часто используют литры: 1 литр равен 1000 кубических сантиметров.
Чем объём прямоугольного параллелепипеда отличается от объёма куба?
Куб — это частный случай параллелепипеда, у которого все рёбра равны. Поэтому формула та же, просто стороны одинаковые: V = a умножить на a умножить на a, то есть a в кубе. Для прямоугольного параллелепипеда с разными измерениями используется V = a · b · c. Для наклонного параллелепипеда нужна другая запись: объём равен площади основания, умноженной на высоту.
Как перевести кубические сантиметры в литры?
Нужно разделить число кубических сантиметров на 1000, потому что 1 литр равен 1000 кубических сантиметров (кубик 10 на 10 на 10 см). Например, 60 000 кубических сантиметров — это 60 литров. Обратно: чтобы перевести литры в кубические сантиметры, умножают на 1000.
Как найти сторону, если известен объём?
Нужно объём разделить на произведение двух известных сторон. Например, если объём 48 кубических метров, длина 8 м и ширина 3 м, то высота равна 48 разделить на (8 умножить на 3), то есть 48 : 24 = 2 метра. Это обратное действие к умножению сторон.
Проверьте себя
Каков объём коробки длиной 0,5 м, шириной 20 см и высотой 30 см?
Сначала 0,5 м = 50 см. Затем V = 50 · 20 · 30 = 30 000 см³ = 30 л. Без перевода единиц произведение 0,5 · 20 · 30 не даёт объём в см³.
У коробки основание 5 × 3 см. Вода занимает слой высотой 2 см. Каков её объём?
V = 5 · 3 · 2 = 30 см³. Подставляют высоту воды, а не полную высоту коробки; площадь дна равна 15 см².
У наклонного параллелепипеда известны три ребра из одной вершины. Достаточно ли перемножить их длины?
Нет: формула a · b · c без поправок относится к взаимно перпендикулярным измерениям. Для наклонного тела нужны площадь основания S и перпендикулярная высота h; объём равен S · h.