Дискриминант: формула, число корней и примеры решения

Дискриминант D=b²−4ac показывает число действительных корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0 при a≠0: два при D>0, один кратный при D=0 и ни одного при D<0. В комплексных числах при D<0 корни существуют.

Формула дискриминанта

Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac. Здесь a — коэффициент при x², b — коэффициент при x, c — свободный член.

• Если D > 0, у уравнения два различных действительных корня.
• Если D = 0, действительный корень один: x = −b/(2a). Его также называют двукратным.
• Если D < 0, действительных корней нет.

Дискриминант помогает заранее выбрать нужную ветвь решения: искать два действительных корня, один или не продолжать вычисления в действительных числах. При D ≥ 0 корни находят по формуле x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a).

Знак D различает три случая: два различных действительных корня, один двукратный действительный корень или отсутствие действительных корней.

Знак D показывает, сколько раз парабола пересекает ось X

Посмотрите на три уравнения: 2x² − 5x + 2 = 0, 4x² − 12x + 9 = 0 и 3x² + 2x + 5 = 0. Устроены они одинаково, но у первого два корня, у второго один, а у третьего действительных корней нет вовсе. Главный вопрос темы звучит так: можно ли узнать это до того, как начнёшь извлекать корни и делить? Можно — и отвечает на него одно-единственное число.

Сначала договоримся о словах. Корень уравнения — значение x, при подстановке которого равенство становится верным. На графике y = ax² + bx + c действительные корни — это абсциссы точек, где парабола пересекает или касается оси X. Значит, вопрос «сколько у уравнения корней» — это тот же самый вопрос «сколько раз парабола встречается с осью X»: два раза, один раз или ни разу.

Дискриминант простыми словами — это и есть число, которое сообщает ответ заранее: при D > 0 парабола пересекает ось X в двух точках, при D = 0 касается её в одной точке, а при D < 0 не имеет с ней общих точек. Чтобы понять, откуда у одного числа такая власть, достаточно посмотреть на вершину параболы.

Вершина стоит в точке с абсциссой x = −b/(2a), а её ордината равна y = −D/(4a). Чтобы из этого получить число пересечений, надо сложить два факта. Знак a решает, куда смотрят ветви: при a > 0 вверх, при a < 0 вниз. Ордината вершины решает, по какую сторону от оси X парабола начинается. Две общие точки с осью появляются ровно тогда, когда вершина лежит по одну сторону оси, а ветви уходят в другую, — то есть когда произведение a на ординату вершины отрицательно. Произведение двух чисел разных знаков всегда отрицательно, поэтому геометрическое условие и записывают через знак произведения.

Подставим в это условие саму ординату: a · (−D/(4a)) = −D/4. Коэффициент a сократился. Остаётся неравенство −D/4 < 0; умножим обе его части на −4 — знак неравенства при умножении на отрицательное число меняется, и получается D > 0.

Вот почему привычное правило «смотрим только на знак D» работает одинаково для веток вверх и вниз, хотя сама вершина от a зависит: при смене знака a вершина перескакивает через ось, но вместе с ней переворачиваются и ветви, и два изменения гасят друг друга. Два оставшихся случая разбираются так же:

• D = 0 — величина −D/4 равна нулю, вершина лежит точно на оси: касание в одной точке.
• D < 0 — величина −D/4 положительна, вершина и ветви оказываются по одну сторону оси, и парабола до неё просто не достаёт.

Начнём с двух уравнений, у которых D > 0. У y = x² − 5x + 6 коэффициент a = 1 и D = 25 − 24 = 1, вершина опущена под ось на −D/(4a) = −0,25, а ветви идут вверх — корни 2 и 3. У y = −x² + 4x − 3 коэффициент a = −1 и D = 16 − 12 = 4, вершина, наоборот, поднята над осью на −D/(4a) = 1, зато ветви идут вниз — корни 1 и 3.

Вершины лежат по разные стороны оси, а пересечений в обоих случаях два.

Теперь третье уравнение, у которого знак D другой: у y = x² − 4x + 5 коэффициент a = 1 и D = 16 − 20 = −4, вершина поднята над осью на −D/(4a) = 1, и ветви уходят вверх от неё же — общих точек с осью нет. То же самое видно из записи y = (x − 2)² + 1.

• D > 0 — два различных действительных корня, две точки пересечения с осью X.
• D = 0 — один двукратный действительный корень x = −b/(2a), парабола касается оси X вершиной.
• D < 0 — действительных корней нет, парабола с осью X не встречается.

Третий случай требует уточнения. «Корней нет» — это утверждение про действительные числа, а не про математику вообще. В школьной задаче при D < 0 так и записывают: «действительных корней нет». Но если изучаются комплексные числа, а коэффициенты уравнения действительны, при D < 0 получаются два комплексно-сопряжённых корня. В школьных задачах область чисел обычно указана явно или подразумеваются действительные числа.

Откуда берётся формула D = b² − 4ac и почему её так назвали

Выражение b² − 4ac не придумали ради удобства запоминания: оно появляется само, если честно довести общее уравнение до вида «квадрат равен числу». Этот приём называется выделением полного квадрата, и именно он объясняет, почему всё решает знак.

Возьмём общее квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Разделим на a и перенесём свободный член: x² + (b/a)·x = −c/a. Добавим к обеим частям (b/(2a))². Тогда (x + b/(2a))² = b²/(4a²) − c/a = (b² − 4ac)/(4a²).

Слева стоит квадрат. Знаменатель 4a² положителен, потому что a ≠ 0. Поэтому возможность извлечь действительный квадратный корень определяет знак числителя D = b² − 4ac.

• Если D > 0, справа положительное число: получаются два разных действительных корня, x₁ ≠ x₂.
• Если D = 0, справа ноль: получается одно значение x = −b/(2a), то есть двукратный корень.
• Если D < 0, справа отрицательное число: квадрат действительного числа таким быть не может, поэтому действительных корней нет.

Тот же вывод объясняет и формулу вершины из предыдущего раздела. Перепишите y = ax² + bx + c как y = a·(x + b/(2a))² − D/(4a), и ордината вершины −D/(4a) окажется прямо перед глазами. Алгебраический вывод и геометрическая картина — это одно рассуждение, рассказанное двумя способами.

Сам приём намного старше буквенной алгебры. Способы решения задач, которые сегодня сводятся к квадратным уравнениям, известны со времён древневавилонской математики. Это были алгоритмы для конкретных числовых задач, а не уравнения в современной буквенной записи; их ход близок к выделению полного квадрата. Такое уточнение и примеры приводит исторический обзор MacTutor о квадратных, кубических и биквадратных уравнениях.

Название discriminant, то есть «различающий», ввёл Джеймс Джозеф Сильвестр в 1851 году при исследовании алгебраических форм. Число действительно различает типы корней, не требуя сначала вычислить сами корни. Историю термина и исходную публикацию Сильвестра приводит архив MacTutor Университета Сент-Эндрюс.

Раз название говорит о различении корней, понятно, почему похожая характеристика есть не только у квадратного трёхчлена. Для кубического многочлена ax³ + bx² + cx + d с действительными коэффициентами, где a ≠ 0, она равна Δ = b²c² − 4ac³ − 4b³d − 27a²d² + 18abcd. При Δ > 0 кубическое уравнение имеет три различных действительных корня; при Δ < 0 — один действительный корень и два комплексно-сопряжённых; при Δ = 0 среди корней есть совпадающие. Эти случаи и формула приведены в справке MacTutor о дискриминанте.

Для многочлена любой степени нулевое значение указывает на кратный корень: два или несколько корней совпадают. Поэтому общая идея сохраняется — характеристика сообщает важное свойство корней до их полного вычисления. При этом не следует смешивать два разных факта: дискриминант существует и для степеней выше четвёртой, хотя общей формулы решения уравнений пятой степени и выше через радикалы нет.

Три шага решения и три примера — по одному на каждый знак D

Теория закончилась. Дальше идёт процедура, которая работает для любого квадратного уравнения без исключений.

Шаг 1. Привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0. Записать a, b, c вместе со знаками. Например, 3x² − 7x = 5 превращается в 3x² − 7x − 5 = 0, поэтому a = 3, b = −7, c = −5. Если какого-то члена нет, его коэффициент равен нулю: в x² − 9 = 0 коэффициент b = 0.

Шаг 2. Подставить коэффициенты в D = b² − 4ac. Сначала вычислить b² и 4ac, затем найти разность. Если b = −5, то b² = (−5)² = 25, а не −25.

Шаг 3. По знаку D найти действительные корни. При D > 0: x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a). При D = 0: x = −b/(2a). При D < 0 действительных корней нет. Полученные значения полезно подставить в исходное уравнение.

Прогоним алгоритм на тех самых трёх уравнениях, с которых начался разговор. Первое — обычный случай с двумя корнями. Решим 2x² − 5x + 2 = 0. Здесь a = 2, b = −5, c = 2. Вычисляем: D = (−5)² − 4·2·2 = 25 − 16 = 9. Тогда x₁,₂ = (5 ± 3)/4, поэтому x₁ = 2, x₂ = 0,5.

Проверка: 2·2² − 5·2 + 2 = 8 − 10 + 2 = 0; 2·0,5² − 5·0,5 + 2 = 0,5 − 2,5 + 2 = 0. Оба корня подходят.

Второй пример нужен, чтобы увидеть, что делает формула, когда под корнем оказывается ноль. Решим 4x² − 12x + 9 = 0. Здесь a = 4, b = −12, c = 9. Получаем D = (−12)² − 4·4·9 = 144 − 144 = 0. Два знака в формуле дают одно значение: x = 12/(2·4) = 12/8 = 1,5. Проверка: 4·1,5² − 12·1,5 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0. Парабола y = 4x² − 12x + 9 касается оси X в этой единственной точке.

Третий пример показывает, где алгоритм честно останавливается. Для 3x² + 2x + 5 = 0 имеем a = 3, b = 2, c = 5. Тогда D = 2² − 4·3·5 = 4 − 60 = −56. В действительных числах квадратный корень из −56 не определён, поэтому действительных корней нет. На графике парабола не пересекает ось X.

Два коротких пути: теорема Виета и маленький дискриминант D₁

Универсальный алгоритм хорош тем, что не требует догадок. Но иногда он избыточен, и два коротких пути экономят время на контрольной.

Теорема Виета. Если у уравнения x² + px + q = 0 есть корни x₁ и x₂, то x₁ + x₂ = −p и x₁·x₂ = q. Поэтому x² − 5x + 6 = 0 удобно решить устно: числа 2 и 3 в сумме дают 5, а в произведении 6. Теорема Виета дополняет формулу через D. Если подходящую пару чисел видно сразу, она сокращает вычисления. Если подобрать корни трудно, формула через D даёт надёжный алгоритм; ещё один общий способ — выделение полного квадрата. Решить квадратное уравнение можно и разложением на множители, и графически, но формула через D удобна тем, что даёт единый школьный алгоритм и не требует заранее угадывать корни.

Маленький дискриминант D₁. Когда коэффициент b чётный, запишем b = 2k. Тогда удобно считать «маленький дискриминант» D₁ = k² − ac. Обычная величина D связана с ним равенством D = 4D₁, а корни находятся по формуле x₁,₂ = (−k ± √D₁)/a. Например, для x² − 6x + 5 = 0 имеем k = −3 и D₁ = 9 − 5 = 4. Тогда x₁,₂ = (3 ± 2)/1, то есть 5 и 1. При чётном b числа обычно получаются проще, а вывод о количестве корней не меняется: D и D₁ отличаются положительным множителем 4, поэтому знак у них всегда одинаковый.

Где теряют знаки и как проверить себя за полминуты

Почти все ошибки в этой теме арифметические, а не смысловые, и почти все случаются в одном месте: при подстановке отрицательного b. Разберём типичный сбой на уравнении x² − 7x + 12 = 0.

Здесь b = −7, а не 7. Неверный ход рассуждения: «минус семь в квадрате — это минус сорок девять», и тогда D = −49 − 48 = −97, откуда делается вывод, что корней нет. Верный ход: b² = (−7)² = 49, затем 4ac = 4·1·12 = 48, поэтому D = 49 − 48 = 1. Дальше нужен правильный знак и в числителе: −b = −(−7) = 7, значит x₁,₂ = (7 ± 1)/2, то есть x₁ = 4 и x₂ = 3. Подстановка подтверждает: 16 − 28 + 12 = 0 и 9 − 21 + 12 = 0. Одна пара скобок отделяет верный ответ от неверного «корней нет».

• Не привести уравнение к нулю. В записи 2x² + 3x = 5 свободный член равен −5 только после переноса: 2x² + 3x − 5 = 0.
• Потерять знак коэффициента. Если b = −6, то b² = (−6)² = 36. Скобки здесь защищают от ошибки.
• Забыть знаменатель 2a. Вся числительная часть −b ± √D делится на 2a, а не только корень.
• Считать два корня при D = 0. Знаки «плюс» и «минус» дают одно и то же число, поэтому различный действительный корень один.
• Остановиться после вычислений. Подстановка в исходное уравнение проверяет арифметику, а ограничения задачи отсеивают физически невозможные значения.
• Взять не тот коэффициент a. Сначала соберите все слагаемые в одной части и расположите их по степеням x. Коэффициент a стоит при x² и обязан быть ненулевым. Если после упрощения x² исчез, уравнение стало линейным и формула D = b² − 4ac к нему не применяется: такое уравнение решается в один шаг, а свериться с разбором можно в решателе линейных уравнений.

Полезна и проверка по теореме Виета. Для ax² + bx + c = 0 сумма найденных корней должна равняться −b/a, а произведение — c/a. В примере 2x² − 5x + 2 = 0 корни 2 и 0,5 дают сумму 2,5 = 5/2 и произведение 1 = 2/2. Эта проверка занимает секунды и ловит ровно те ошибки знака, о которых шла речь выше.

От текстовой задачи к уравнению: движение, геометрия и ОГЭ

Дискриминант применяют в любой задаче, которая после построения модели сводится к квадратному уравнению: например, при анализе пересечений параболы с заданным уровнем. Сначала строят модель, а уже затем по знаку D выясняют, сколько решений может быть. Покажем это на двух задачах, где результат можно проверить по смыслу.

Движение: когда тело окажется на заданной высоте. Пусть приближённая высота тела после вертикального запуска описывается формулой h(t) = −5t² + 20t, где h измеряется в метрах, а t — в секундах. Найдём моменты, когда высота равна 15 м: −5t² + 20t = 15. После переноса и деления на −5 получаем t² − 4t + 3 = 0.

Здесь a = 1, b = −4, c = 3. D = 16 − 12 = 4, поэтому t₁,₂ = (4 ± 2)/2. Получаются t₁ = 1 с и t₂ = 3 с. Оба ответа имеют смысл: первый раз тело проходит отметку 15 м при подъёме, второй — при спуске. Проверка даёт h(1) = −5 + 20 = 15 и h(3) = −45 + 60 = 15. Квадратичные модели движения и обязательная проверка ответа по условию разобраны также в учебном разделе OpenStax Algebra 1.

Здесь подошли оба корня. Следующая задача нужна затем, чтобы увидеть обратный случай: алгебра даёт два ответа, а условие оставляет один.

Геометрия: стороны прямоугольника по площади. Ширина прямоугольника равна x м, длина на 3 м больше, а площадь составляет 40 м². Тогда x(x + 3) = 40, то есть x² + 3x − 40 = 0. Вычисляем D = 3² − 4·1·(−40) = 9 + 160 = 169. Корни: x₁ = (−3 + 13)/2 = 5 и x₂ = (−3 − 13)/2 = −8.

Алгебраически подходят оба корня, но отрицательная длина невозможна. Поэтому ширина равна 5 м, длина — 8 м; проверка: 5·8 = 40 м². Этот пример показывает, почему вычисление корней — ещё не последний шаг решения текстовой задачи. В задачах о движении, геометрии или экономике интерпретация через параболу работает только после того, как величина действительно описана квадратичной функцией. Классический пример — параболическая арка моста: её точки опоры и есть нули функции, но сначала надо убедиться, что форма арки действительно параболическая. Затем каждый найденный корень проверяют по ограничениям задачи: времени, длине, количеству и другим допустимым значениям.

Есть у темы и вполне земная причина разобраться в ней до автоматизма. Квадратные уравнения изучают в 8 классе, и они входят в программу ОГЭ по математике — и там, где требуется просто решить уравнение, и внутри текстовых задач, которые к квадратному уравнению сводятся. Рядом проверяются смежные умения из этой статьи: связь корней с графиком параболы и отбор корня по смыслу условия. Поэтому доводить до автоматизма стоит именно первые два шага — выписать a, b, c со знаками и аккуратно подставить отрицательное b. Ход решения при ошибке здесь остаётся верным, а ответ уже нет.

Попробуйте сами

Четыре задания идут по возрастанию: от прямого счёта к подбору параметра, когда нужное число корней задано заранее.

Задача 1. Решите через формулу D уравнение x² − 9 = 0.

Показать решение

a = 1, b = 0, c = −9. D = 0² − 4·1·(−9) = 36. √D = 6. x₁ = (0 + 6)/2 = 3, x₂ = (0 − 6)/2 = −3. Ответ: x₁ = 3, x₂ = −3.

Задача 2. Парабола описывается уравнением y = x² + 6x + 13. Пересекает ли она ось X?

Показать решение

Точки пересечения с осью X — действительные корни уравнения x² + 6x + 13 = 0. Здесь a = 1, b = 6, c = 13. Считаем: D = 6² − 4·1·13 = 36 − 52 = −16. Дискриминант отрицательный, поэтому действительных корней нет. Это также видно из записи y = (x + 3)² + 4: значение не бывает меньше 4. Ответ: не пересекает.

Задача 3. При каких значениях m уравнение x² + mx + 9 = 0 имеет один действительный корень?

Показать решение

Один различный действительный корень — значит D = 0. Здесь a = 1, b = m, c = 9. D = m² − 36 = 0, откуда m = 6 или m = −6. При m = 6 двойной корень равен −3, при m = −6 — 3. Ответ: m = ±6.

Задача 4. При каких значениях m уравнение 2x² − 4x + m = 0 не имеет действительных корней?

Показать решение

Действительных корней нет при D < 0. Здесь a = 2, b = −4, c = m, поэтому D = (−4)² − 4·2·m = 16 − 8m. Неравенство 16 − 8m < 0 даёт 8m > 16, то есть m > 2. Проверка: при m = 3 получается D = 16 − 24 = −8, корней нет; при m = 2 получается D = 0 и один корень x = 1. Ответ: m > 2.

Частые вопросы

Короткие ответы на то, что чаще всего спрашивают после первого знакомства с формулой.

Что такое дискриминант простыми словами?

Одно число D = b² − 4ac, по знаку которого сразу видно: корней два, один или ни одного.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

Писать «действительных корней нет». Комплексная пара существует, но в школьной задаче её обычно не ищут.

Можно ли решить уравнение без дискриминанта?

Да: теоремой Виета, разложением на множители, выделением полного квадрата или по графику.

Чем D отличается от D₁?

D₁ = k² − ac считают при b = 2k. Тогда D = 4D₁, знаки совпадают, и вывод о корнях тот же.

Как не потерять знак у отрицательного b?

Возводить в квадрат вместе со скобками: (−7)² = 49, а не −49. Квадрат отрицательного числа положителен.

Проверьте себя

Какие коэффициенты a, b, c у уравнения 4x² − 7 = 0?

a = 4, b = 0, c = −7. Если члена с x нет, его коэффициент равен нулю.

Сколько различных действительных корней при D = 0?

Один: x = −b/(2a). В формуле два знака дают одно и то же значение, поэтому корень называют двукратным.

Как быстро проверить найденный корень?

Подставить значение x в исходное уравнение. Если левая часть равна правой, корень подходит.

Что изучать дальше

После вычисления D полезно связать формулу с разложением квадратного трёхчлена, теоремой Виета и графиком параболы:

• База перед темой: Квадратные уравнения: 4 способа решения с нуля
• Следующий способ: Теорема Виета: как корни связаны с коэффициентами
• Связь с графиком: Квадратная функция и парабола
• Практика по теме: интерактивный урок по квадратным уравнениям