Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Если у ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, есть корни x₁ и x₂ с учётом кратности, то x₁ + x₂ = −b/a, а x₁ · x₂ = c/a. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 это превращается в короткую пару: сумма корней равна −p, произведение равно q.
Эти формулы позволяют читать уравнение в обратную сторону. Обычно мы идём от коэффициентов к корням. Здесь же коэффициенты сразу сообщают две характеристики неизвестной пары: её сумму и произведение. Иногда этого достаточно, чтобы найти корни устно, проверить ответ или решить задачу, вообще не вычисляя каждый корень.
В лаборатории выше можно менять a, b, c и предполагаемые корни. Она отдельно проверяет сумму, произведение и подстановку в исходное уравнение. Если виджет не загрузился, возьмите набор a = 1, b = −5, c = 6 и пару 2, 3: сумма 5 совпадает с −b/a, произведение 6 совпадает с c/a, а оба числа обращают x² − 5x + 6 в ноль.
Как в уравнении прячется пара чисел
Представьте задачу без букв: «Назовите два числа, сумма которых равна 7, а произведение — 12». Первая пара 1 и 6 даёт нужную сумму, но произведение 6. Пара 2 и 5 даёт произведение 10. А числа 3 и 4 проходят обе проверки.
Теперь раскроем скобки:
(x − 3)(x − 4) = x² − 7x + 12.
Сумма 3 + 4 появилась у коэффициента при x с противоположным знаком, а произведение 3 · 4 стало свободным членом. Уравнение x² − 7x + 12 = 0 можно читать как сжатую запись о паре 3 и 4. Это не особый трюк для одного примера: тот же механизм работает для любого квадратного многочлена, который разложен по своим корням.
Формулы Виета для приведённого и общего уравнения
Приведённым называют квадратное уравнение, у которого коэффициент при x² равен 1:
x² + px + q = 0.
Если его корни x₁ и x₂ существуют в рассматриваемой числовой области, возможно, совпадают, то:
- x₁ + x₂ = −p: коэффициент при x нужно взять с противоположным знаком;
- x₁ · x₂ = q: свободный член сохраняет свой знак.
Для общего уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, сначала мысленно делим все члены на a. Получаем x² + (b/a)x + c/a = 0, поэтому:
x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.
Именно деление на a отличает общую форму от школьной короткой записи. Например, у 2x² − 5x − 3 = 0 сумма корней равна 5/2, а произведение −3/2, а не 5 и −3.
Как подобрать корни и не потерять знак
Подбор удобно вести не как хаотичный перебор, а как короткое расследование:
- Запишите уравнение в виде ax² + bx + c = 0 и выпишите a, b, c вместе со знаками.
- Вычислите S = −b/a и P = c/a.
- По знаку P решите, одинаковые или разные знаки нужны у корней.
- Переберите пары множителей P и найдите ту, чья сумма равна S.
- Подставьте оба числа в исходное уравнение. Совпадения S и P достаточно по обратной теореме, но подстановка хорошо ловит описки.
Базовый случай. Для x² − 11x + 30 = 0 нужны S = 11 и P = 30. Пары положительных делителей 30 таковы: 1 и 30, 2 и 15, 3 и 10, 5 и 6. Только 5 + 6 = 11, поэтому корни равны 5 и 6. Проверка: 5² − 11 · 5 + 30 = 0 и 6² − 11 · 6 + 30 = 0.
Теперь перенесём тот же ход на другие ситуации. У x² + x − 6 = 0 произведение отрицательное, значит знаки разные. Нужны S = −1 и P = −6; подходит пара 2 и −3. В уравнении x² + 6x + 9 = 0 нужны S = −6 и P = 9; их дают два одинаковых числа −3 и −3, поэтому корень −3 считается дважды.
Неприведённый случай. Для 2x² − 5x − 3 = 0 имеем S = 5/2 и P = −3/2. Пара 3 и −1/2 подходит по обоим условиям. Дробный корень не делает метод неправильным: 2 · (−1/2)² − 5 · (−1/2) − 3 = 1/2 + 5/2 − 3 = 0.
Если целая пара не нашлась, не продолжайте бесконечный перебор. Корни могут быть дробными, иррациональными или невещественными. Это граница подбора как быстрого способа, а не граница самой теоремы.
Почему формулы работают: раскрываем скобки
Пусть x₁ и x₂ — корни квадратного многочлена. Тогда его можно записать через линейные множители:
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
Раскрываем скобки справа:
a(x − x₁)(x − x₂) = ax² − a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂.
Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x. При x слева стоит b, а справа −a(x₁ + x₂), значит b = −a(x₁ + x₂) и x₁ + x₂ = −b/a. Свободный член слева равен c, справа — ax₁x₂, поэтому x₁x₂ = c/a. Минус у суммы не нужно зубрить отдельно: он рождается при раскрытии (x − x₁)(x − x₂).
Есть и вторая проверка. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 корни при D ≥ 0 равны (−p + √D)/2 и (−p − √D)/2, где D = p² − 4q. При сложении радикалы сокращаются и остаётся −p. При умножении работает разность квадратов:
x₁x₂ = (p² − D)/4 = (p² − (p² − 4q))/4 = q.
Первое доказательство важнее для понимания: оно сразу переносится на многочлены большей степени. Второе показывает, что знакомая формула корней приводит к тем же отношениям.
Обратная теорема и задачи без вычисления корней
Связь работает в обе стороны. Если числа α и β удовлетворяют условиям α + β = −p и αβ = q, то они являются корнями x² + px + q = 0. Поэтому по заданной паре можно собрать уравнение:
x² − (α + β)x + αβ = 0.
Например, для корней 2 и −5 сумма равна −3, произведение −10. Получаем x² − (−3)x − 10 = 0, то есть x² + 3x − 10 = 0. Раскрытие (x − 2)(x + 5) возвращает тот же многочлен.
Ещё сильнее идея проявляется в задачах, где сами корни не нужны. Обозначим S = x₁ + x₂ и P = x₁x₂. Тогда:
- x₁² + x₂² = S² − 2P — следует из квадрата суммы;
- 1/x₁ + 1/x₂ = S/P, если P ≠ 0;
- уравнение с корнями x₁ + t и x₂ + t можно составить через новую сумму S + 2t и новое произведение P + tS + t².
Пусть x₁ и x₂ — корни 2x² − 7x + 3 = 0. По формулам S = 7/2, P = 3/2. Поэтому x₁² + x₂² = (7/2)² − 2 · 3/2 = 49/4 − 3 = 37/4, а сумма обратных равна (7/2)/(3/2) = 7/3. Вычислять корни 3 и 1/2 потребовалось только для проверки.
Так теорема меняет роль корней: вместо двух отдельных чисел мы работаем с симметричными характеристиками пары. Перестановка x₁ и x₂ ничего не меняет, поэтому коэффициенты и «помнят» именно сумму и произведение, а не порядок корней.
Когда нужен дискриминант, а когда достаточно Виета
Теорема всегда описывает связь коэффициентов с корнями, но подбор удобен не всегда. Начните с Виета, если ожидаются небольшие целые числа, нужно проверить найденную пару, составить уравнение по корням или найти симметричное выражение. Переходите к дискриминанту, если пара не видна или требуется установить число вещественных корней.
- D > 0: два различных вещественных корня;
- D = 0: один двукратный корень, который в формулах записывают как x₁ = x₂;
- D < 0: вещественных корней нет, но в комплексных числах формулы Виета продолжают работать.
Например, для x² + 1 = 0 вещественной пары нет. В комплексных числах корни i и −i имеют сумму 0 и произведение 1, как и предсказывают коэффициенты. Для школьного подбора это означает простое правило: неудачный поиск целых чисел ничего не доказывает о существовании корней.
От школьной пары к формулам любой степени
В конце XVI века Франсуа Виет сделал важный шаг к систематической буквенной алгебре: в труде In artem analyticam isagoge 1591 года он использовал буквы и для неизвестных, и для известных величин. Его обозначения отличались от современных: гласные служили неизвестными, согласные — известными. Но сама возможность рассуждать сразу о целом классе уравнений, а не о единственном числовом примере, изменила язык алгебры.
Историю не стоит сводить к фразе «один человек придумал две школьные формулы». Виет рассматривал связь коэффициентов с положительными корнями; общая формулировка развивалась позднее. Название сохранило его имя, а содержание стало частью более широкой идеи о симметрических выражениях от корней.
Для приведённого кубического уравнения x³ + ax² + bx + c = 0 с корнями x₁, x₂, x₃ раскрытие трёх скобок даёт:
- x₁ + x₂ + x₃ = −a;
- x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = b;
- x₁x₂x₃ = −c.
Проверим на x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, то есть на (x − 1)(x − 2)(x − 3). Сумма корней 1 + 2 + 3 = 6, сумма попарных произведений 2 + 3 + 6 = 11, произведение 1 · 2 · 3 = 6. Коэффициенты идут с чередующимися знаками. Для большей степени продолжается тот же принцип: коэффициенты выражаются через симметрические суммы произведений корней.
Эта идея используется, когда нужно узнать свойства решений, не выписывая каждое из них. Например, характеристический многочлен матрицы или линейного дифференциального уравнения кодирует суммарные свойства своих корней в коэффициентах. Школьная пара «сумма и произведение» — первый доступный случай общего метода.
Практика: восстановите пару и уравнение
Сначала решите задачу без раскрытия ответа. После ответа найдите место ошибки: знак суммы, деление на a, выбор пары или проверка подстановкой.
Задача 1. Не считая дискриминант, найдите корни x² − 13x + 40 = 0.
Показать разбор
Нужны S = 13 и P = 40. Пары делителей: 1 и 40, 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Только 5 + 8 = 13. Корни 5 и 8. Если получилась пара −5, −8, проверьте сумму: она равна −13, а не 13.
Задача 2. Найдите корни x² − 2x − 15 = 0.
Показать разбор
P = −15, поэтому знаки разные. Нужна сумма S = 2; подходит 5 и −3. Проверка: 5 + (−3) = 2, 5 · (−3) = −15. Если выбраны 3 и −5, произведение верно, но сумма имеет неверный знак.
Задача 3. Составьте приведённое квадратное уравнение с корнями −4 и 1.
Показать разбор
Сумма равна −3, произведение −4. В формуле x² − (α + β)x + αβ = 0 перед суммой уже стоит минус: получаем x² + 3x − 4 = 0. Проверка: (x + 4)(x − 1) даёт тот же результат.
Задача 4. Для 3x² + 7x − 6 = 0 найдите сумму и произведение корней, не вычисляя корни.
Показать разбор
x₁ + x₂ = −b/a = −7/3, x₁x₂ = c/a = −6/3 = −2. Если ответ получился −7 и −6, забыто деление обоих коэффициентов на a = 3.
Задача 5. Корни x² − 7x + 10 = 0 равны x₁ и x₂. Найдите x₁² + x₂², не вычисляя корни.
Показать разбор
S = 7, P = 10. По формуле S² − 2P получаем 49 − 20 = 29. Типичная ошибка — вычесть P один раз; в квадрате суммы содержится 2x₁x₂.
Задача 6. Один корень x² + kx − 12 = 0 равен 3, другой равен −4. Найдите k.
Показать разбор
Сумма корней −1 равна −k, значит k = 1. Произведение 3 · (−4) = −12 подтверждает свободный член. Если получилось k = −1, потерян минус в равенстве x₁ + x₂ = −k.
Частые вопросы и ошибки
Можно ли решить подбором любое квадратное уравнение? Нет, если под «подбором» понимать быстрый поиск простой пары. Теорема остаётся верной и для дробных, иррациональных и комплексных корней, но искать их устно неудобно. Тогда используйте факторизацию, дискриминант или другой подходящий метод.
Работает ли формула при одном корне? Да. При D = 0 корень двукратный. Для x² − 6x + 9 = 0 записываем x₁ = x₂ = 3: сумма 6, произведение 9.
Достаточно ли совпадения произведения? Нет. Произведение 6 дают пары 2 и 3, −2 и −3, 1 и 6. Условия на сумму и произведение должны выполняться одновременно.
Почему сумма берётся с минусом? Потому что при раскрытии (x − x₁)(x − x₂) коэффициент при x равен −(x₁ + x₂). Вернитесь к скобкам, если знак забывается: это надёжнее мнемоники.
Что важнее запомнить? Не две изолированные формулы, а движение в обе стороны: из (x − x₁)(x − x₂) получаются коэффициенты, а по сумме и произведению можно восстановить пару и её многочлен.
От коэффициентов к видимой параболе
В интерактивном курсе вы раскладываете выражения на множители, находите корни и сразу видите, где они оказываются на графике. Если корень выбран неверно, модель возвращает к связи между формулой и пересечением с осью.
Что изучать дальше
Закрепите выбор метода на странице о четырёх способах решения квадратных уравнений. Затем разберите дискриминант как способ установить число вещественных корней и свяжите разложение на множители с темой многочленов. Практический следующий шаг: возьмите любое приведённое квадратное уравнение из учебника, выпишите S и P, а затем проверьте найденную пару и через формулы, и через скобки.