Метод группировки — это разложение многочлена на множители: слагаемые объединяют в группы, выносят общий множитель из каждой группы, а затем выносят общий множитель, который получился у групп. В этой статье рассматривается частный случай с двумя парами слагаемых; общий множитель в скобках здесь часто является двучленом. Например, x² + 3x + 2x + 6 = x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 2)(x + 3).
Цель не в том, чтобы ставить скобки наугад. После первого вынесения в обеих группах должен появиться один и тот же множитель. Если он не появился, перегруппируйте слагаемые или остановитесь: этот приём подходит не каждому многочлену.
На практике разложение на множители используют, чтобы упростить выражение перед решением уравнения: произведение можно приравнять к нулю и исследовать каждый множитель. Почему нужна проверка? Один потерянный знак меняет оба множителя и может привести к неверным корням.
Алгоритм: ищем одинаковый остаток в скобках
- В рассматриваемом случае запишите многочлен так, чтобы его можно было разделить на две пары слагаемых.
- Вынесите общий множитель из первой пары и из второй пары.
- Сравните получившиеся множители. Если они одинаковы, вынесите этот общий множитель за скобки.
- Проверьте ответ обратным раскрытием скобок.
Это работает по распределительному свойству: A·B + C·B = (A + C)·B. Здесь одинаковый множитель B может быть не числом и не только двучленом: в разобранных примерах он двучлен, но в другом выражении может содержать другое число слагаемых.
Разобранный пример 1: четыре слагаемых
Разложите x² + 3x + 2x + 6. Первую пару x² + 3x записываем как x(x + 3). Из второй пары 2x + 6 выносим 2: 2(x + 3). Теперь обе части содержат (x + 3), поэтому x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 2)(x + 3).
Проверка: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6. Если при раскрытии не вернулся исходный многочлен, группировка или знак выбраны неверно.
Разобранный пример 2: внимательно со знаком
Разложите 3a² − 6a + 5a − 10. Из первых двух слагаемых выносим 3a: 3a(a − 2). Из последних двух выносим 5: 5(a − 2). Общая скобка совпала, значит 3a(a − 2) + 5(a − 2) = (3a + 5)(a − 2).
Проверка раскрытием: (3a + 5)(a − 2) = 3a² − 6a + 5a − 10. Важно сохранить минус внутри (a − 2): запись 5(2 − a) потребовала бы вынести −5, а не 5.
Когда сначала нужно переставить слагаемые
В выражении x² − 4x + 3x − 12 пары уже стоят удобно: x(x − 4) + 3(x − 4) = (x + 3)(x − 4). Но иногда одинаковый множитель (в этом частном случае — двучлен) появляется только после перестановки слагаемых. Переставлять можно, потому что сложение коммутативно; знак каждого слагаемого переносится вместе с ним.
Не стоит обещать, что любой многочлен раскладывается группировкой. Если после разумной перегруппировки не получается одинаковая скобка, выберите другой способ: вынесение общего множителя, формулу сокращённого умножения или разложение квадратного трёхчлена. Основные виды многочленов и операции с ними собраны в материале о многочленах.
Три задания для самостоятельной проверки
Задача 1. Разложите x² + 5x + 2x + 10.
Ответ: x(x + 5) + 2(x + 5) = (x + 2)(x + 5). Проверка: произведение даёт x² + 5x + 2x + 10. Если во второй скобке получилось x + 10, общий множитель 2 вынесен не из обоих слагаемых.
Задача 2. Разложите 6y² − 9y + 4y − 6.
Ответ: 3y(2y − 3) + 2(2y − 3) = (3y + 2)(2y − 3). Проверка раскрытием возвращает 6y² − 9y + 4y − 6.
Задача 3. Разложите m² − 7m + 2m − 14.
Ответ: m(m − 7) + 2(m − 7) = (m + 2)(m − 7). При проверке средние члены равны −7m и +2m; их не нужно преждевременно складывать.
Что сделать после статьи
Сначала попробуйте в каждой задаче назвать одинаковую скобку до последнего шага. Затем откройте раздел курса «Многочлены». Это смежный маршрут для продолжения темы, а не обещание отдельного упражнения именно на метод группировки.