Дисперсия показывает, насколько числа разбросаны вокруг среднего: для полного набора она равна среднему квадратов отклонений от среднего. Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс; если все числа одинаковы, она равна нулю. Ниже под «дисперсией набора» будем понимать именно полный заданный список чисел и делить на число значений n.
Среднее отвечает на вопрос «где находится середина», но не говорит, насколько далеко от неё лежат отдельные значения. Поэтому два набора могут иметь одно среднее и совсем разный разброс. Сначала увидим это на числовой прямой, а затем превратим расстояния в вычисление.
Содержание
Одинаковое среднее не означает одинаковый разброс
Сравним наборы A = 4, 5, 6 и B = 1, 5, 9. В обоих случаях среднее равно 5. Но в A числа стоят рядом со средним, а в B два числа удалены от него на 4. Это и есть задача для дисперсии: количественно различить «рядом» и «далеко».
Почему отклонения возводят в квадрат
Отклонение каждого числа — это число минус среднее. Для A получаем −1, 0 и 1. Если сложить обычные отклонения, выйдет −1 + 0 + 1 = 0. То же будет у любого полного набора: значения слева от среднего погашаются значениями справа. Ноль здесь не означает отсутствия разброса.
Поэтому отклонения возводят в квадрат. У A квадраты равны 1, 0 и 1, их среднее — 2/3. У B отклонения −4, 0 и 4 дают квадраты 16, 0 и 16; их среднее — 32/3. Квадрат не даёт противоположным направлениям уничтожить друг друга и сильнее учитывает далёкие значения.
Формула дисперсии для полного набора
Если полный набор состоит из чисел x1, x2, …, xn, а его среднее арифметическое равно x̄, то дисперсия:
D = ((x1 − x̄)² + (x2 − x̄)² + … + (xn − x̄)²) / n.
- Найдите среднее x̄.
- Вычтите его из каждого числа.
- Возведите каждое отклонение в квадрат.
- Сложите квадраты и разделите на число значений n.
Это формула для полностью заданного набора, например для всех восьми результатов в задаче. В статистике выборочная дисперсия часто служит оценкой большей совокупности; тогда используют делитель n − 1. Нельзя менять делитель по привычке: сначала выясните, дан полный набор или только выборка.
Пример 1. Два набора с одинаковым средним
Вернёмся к A = 4, 5, 6. Среднее x̄ = 5. Получаем D(A) = ((4 − 5)² + (5 − 5)² + (6 − 5)²) / 3 = (1 + 0 + 1) / 3 = 2/3.
Для B = 1, 5, 9 среднее тоже 5, но D(B) = ((1 − 5)² + 0² + (9 − 5)²) / 3 = (16 + 0 + 16) / 3 = 32/3. Средние одинаковы, однако у B дисперсия в 16 раз больше: крайние числа в четыре раза дальше, а квадрат расстояния в шестнадцать раз больше.
Пример 2. Расчёт по таблице
Даны все результаты восьми измерений: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Их сумма 40, поэтому среднее 40 / 8 = 5. Составим таблицу.
| x | x − 5 | (x − 5)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Итого | 0 | 32 |
Теперь осталось разделить 32 на 8: D = 4. Если значения были длинами в сантиметрах, дисперсия имела бы единицу см². Это нормально: мы усредняли квадраты расстояний. Чтобы получить показатель разброса в исходных сантиметрах, берут квадратный корень из дисперсии — стандартное отклонение.
Что дисперсия говорит, а чего не говорит
Нулевая дисперсия означает, что все числа совпадают. Большая дисперсия при одинаковой единице и сопоставимом масштабе означает более широкий разброс. Однако число D не показывает, по какую сторону от среднего лежат значения, и само по себе не объясняет причину разброса.
Не путайте дисперсию с математическим ожиданием. Математическое ожидание описывает центр значений случайной величины с учётом вероятностей; дисперсия описывает разброс вокруг такого центра. Для распределений с вероятностями есть формула через взвешенные квадраты, но здесь мы сначала учимся считать по готовому числовому набору.
Типичные ошибки и быстрая проверка
- Сложить обычные отклонения. Они взаимно погашаются. Проверьте, что в формуле стоят квадраты.
- Не найти среднее до отклонений. Отклонение считают от x̄, а не от нуля и не от первого числа.
- Разделить на n − 1 без условия. Для полного указанного набора здесь делим на n; n − 1 относится к выборочной оценке.
- Считать, что единица та же. Если данные в метрах, дисперсия измеряется в м². Для метров берут корень — стандартное отклонение.
Быстрая проверка: дисперсия не может быть отрицательной. Если получили отрицательное число, где-то потерялись квадрат или скобки. У одинаковых чисел все отклонения нулевые, поэтому ответ обязательно 0.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Найдите дисперсию полного набора 3, 3, 3.
Ответ: 0. Среднее равно 3, каждое отклонение равно 0, сумма квадратов 0. После деления на 3 остаётся 0. Одинаковые числа не имеют разброса.
Задача 2. Найдите дисперсию полного набора 2, 4, 6.
Ответ: 8/3. Среднее равно 4. Квадраты отклонений: (−2)² = 4, 0² = 0, 2² = 4. D = (4 + 0 + 4) / 3 = 8/3. Если получилось 0, вы сложили отклонения до возведения в квадрат.
Задача 3. Что имеет большую дисперсию: 2, 4, 6 или 0, 4, 8?
Ответ: 0, 4, 8. У обоих наборов среднее 4. У первого D = (4 + 0 + 4) / 3 = 8/3; у второго D = (16 + 0 + 16) / 3 = 32/3. Второй набор сильнее разбросан от того же центра.
Следующий шаг
Введите в интерактив свои пять–восемь чисел: сначала как полный набор, затем переключите режим выборки и посмотрите, почему меняется делитель. Для дальнейшей практики статистических идей можно открыть курс «Статистика на каждый день». Это смежный курс; статья не обещает в нём отдельное упражнение на дисперсию.