Математическое ожидание: формула и примеры расчёта

Коротко: математическое ожидание дискретной случайной величины — это взвешенное среднее её возможных значений. Если значение x_i возникает с вероятностью p_i, то E(X) = Σx_ip_i. Результат описывает средний итог длинной серии одинаковых опытов, но не предсказывает следующий исход.

У честной игральной кости E(X) = 3,5. Число 3,5 не может выпасть на грани: это среднее число очков на один бросок в длинной серии.

Что именно мы усредняем

Случайная величина сопоставляет каждому исходу опыта число. При броске кости X может быть числом выпавших очков. В игре X может быть прибылью: выигрыш записывают положительным числом, проигрыш — отрицательным.

Обычное среднее считает все наблюдения равноправными. В математическом ожидании возможные значения имеют разные веса — их вероятности. Поэтому редкий приз в 1000 рублей и частый убыток в 100 рублей нельзя просто сложить и разделить на два.

Формула математического ожидания

Пусть X принимает значения x₁, x₂, …, x_n с вероятностями p₁, p₂, …, p_n. Для конечного дискретного распределения:

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n = Σx_ip_i.

Перед вычислением распределение нужно проверить:

1. Все возможные значения X перечислены без пропусков и повторов.
2. Каждая вероятность находится от 0 до 1.
3. Сумма вероятностей равна 1.
4. У каждого значения и вероятности совпадает смысл: p_i относится именно к x_i.

Как найти E(X): алгоритм

1. Определите X. Одной фразой запишите, какое число она показывает: очки, число успехов, прибыль.
2. Составьте распределение. Выпишите пары «значение — вероятность».
3. Проверьте вероятности. Они неотрицательны и в сумме дают 1.
4. Найдите вклады. Для каждой строки вычислите x_ip_i.
5. Сложите вклады. Полученное число и есть E(X).
6. Истолкуйте ответ. Назовите единицу и уточните: это средний результат на один опыт в длинной серии.

Пример 1. Почему ожидание кости равно 3,5

У честной кости шесть равновероятных исходов. Поэтому:

E(X) = 1·1/6 + 2·1/6 + 3·1/6 + 4·1/6 + 5·1/6 + 6·1/6 = 21/6 = 3,5.

Если бросить кость N раз, ожидаемая сумма очков равна 3,5N. Например, для 100 бросков — 350 очков. Фактическая сумма почти наверняка будет немного отличаться. С увеличением числа независимых одинаковых опытов средний результат обычно стабилизируется около 3,5.

Пример 2. Как применять ожидание для оценки игры

В игре с вероятностью 0,25 участник получает 200 рублей, а с вероятностью 0,75 теряет 80 рублей. Пусть X — прибыль за одну игру. Убыток записываем как −80:

E(X) = 200·0,25 + (−80)·0,75 = 50 − 60 = −10 рублей.

Это не значит, что каждая партия отнимет ровно 10 рублей. Возможны только +200 и −80. Значение −10 означает средний результат на одну партию в длинной серии. Например, для 1000 одинаковых игр математическое ожидание общей прибыли равно −10 000 рублей.

Отрицательное ожидание говорит о невыгодности серии по среднему результату, но само по себе не описывает риск. Две игры с одинаковым E(X) могут очень различаться по разбросу и вероятности крупного проигрыша.

Полезные свойства

• Постоянная: если X всегда равна c, то E(X) = c.
• Множитель: E(aX) = aE(X). Если все выплаты удвоить, удвоится и ожидание.
• Сдвиг: E(X + b) = E(X) + b. Фиксированная комиссия 30 рублей уменьшает ожидание прибыли на 30.
• Сумма: E(X + Y) = E(X) + E(Y), если ожидания существуют. Для этого свойства независимость X и Y не нужна.

Последний пункт часто путают с произведением. Равенство E(XY) = E(X)E(Y) в общем случае неверно; стандартное достаточное условие — независимость X и Y и существование ожиданий.

Чем матожидание отличается от среднего и дисперсии

Математическое ожидание — характеристика теоретического распределения. Выборочное среднее вычисляют по реально полученным наблюдениям. При повторении одинакового случайного опыта выборочное среднее может приближаться к E(X), но на конечной серии не обязано с ним совпадать.

Дисперсия описывает разброс относительно ожидания. Знать только E(X) недостаточно: распределения «всегда 10» и «0 или 20 с равными вероятностями» имеют одинаковое ожидание 10, но разный риск и предсказуемость.

Типичные ошибки

• Считать обычное среднее возможных значений. Так можно делать только при равных вероятностях.
• Не учитывать знак убытка. Потеря 80 рублей — значение −80, а не 80.
• Смешивать проценты и доли. В формуле 25% записывают как 0,25.
• Не проверять сумму вероятностей. Если она не равна 1, таблица неполна или ошибочна.
• Принимать E(X) за гарантированный исход. Ожидание может вообще не входить в набор возможных значений.
• Сравнивать решения только по ожиданию. В реальной задаче также важны разброс, предельный убыток, ограничения и отношение к риску.

Задачи для практики

Задача 1. X принимает значение 0 с вероятностью 0,7 и 10 с вероятностью 0,3. Найдите E(X).

Показать решение

E(X)=0·0,7+10·0,3=3. Ответ: 3.

Задача 2. С вероятностью 0,4 игрок получает 40 рублей, иначе теряет 20 рублей. Найдите среднюю прибыль.

Показать решение

Вероятность проигрыша равна 1−0,4=0,6. E(X)=40·0,4+(−20)·0,6=16−12=4. Ответ: 4 рубля на игру в среднем.

Задача 3. X принимает значения 1, 3 и 5. Вероятности первых двух значений равны 0,2 и 0,5. Найдите третью вероятность и E(X).

Показать решение

p=1−0,2−0,5=0,3. E(X)=1·0,2+3·0,5+5·0,3=0,2+1,5+1,5=3,2. Ответ: p=0,3; E(X)=3,2.

Задача 4. Лотерея стоит 50 рублей. Приз 500 рублей выплачивают с вероятностью 0,08, иначе приз равен нулю. X — чистая прибыль после оплаты билета. Найдите E(X).

Показать решение

При выигрыше чистая прибыль 500−50=450 рублей, при проигрыше −50 рублей. E(X)=450·0,08−50·0,92=36−46=−10. Ответ: −10 рублей.

Частые вопросы

Может ли математическое ожидание быть дробным?

Да. Оно является средним, а не обязательным исходом. Для кости E(X)=3,5, хотя выпадают только целые числа от 1 до 6.

Всегда ли математическое ожидание существует?

Нет. Для конечного числа конечных значений оно существует. У некоторых бесконечных распределений сумма или интеграл, задающие ожидание, не сходятся.

Что означает E(X)=0?

Положительные и отрицательные вклады в среднем компенсируются. Это не означает, что X всегда равна нулю или что риска нет.

Как связаны E(X) и сумма результатов?

Для N одинаково распределённых опытов ожидаемая сумма равна N·E(X). Это следует из линейности математического ожидания.

Что изучать дальше

Если пока трудно составлять вероятности исходов, сначала повторите основы теории вероятностей. Следующий шаг после матожидания — дисперсия: она показывает, насколько сильно значения разбросаны вокруг среднего.

Повторить курс «Основы вероятности»