Показательные неравенства: правила и примеры решения

Коротко: в показательном неравенстве переменная находится в показателе степени. Для одинакового основания a правило зависит от монотонности функции y=a^x: при a>1 знак между показателями сохраняется, а при 0<a<1 меняется на противоположный. Всегда требуется a>0 и a≠1.

Основание	af(x) > ag(x)	Почему
a>1	f(x)>g(x)	Функция возрастает
0<a<1	f(x)<g(x)	Функция убывает

Что называют показательным неравенством

Это неравенство, в котором неизвестная входит в показатель степени: например, 2^x+1>8 или 4^x−5·2^x+4≤0. Выражение x³>8 не является показательным: переменная стоит в основании, а показатель постоянен.

Школьная показательная функция y=a^x для всех действительных x задаётся при a>0, a≠1. Исключается ровно a=1: любое основание строго больше 1 задаёт возрастающую функцию, а строго между 0 и 1 — убывающую, как бы близко оно ни было к 1. При a=1 обе степени равны 1 и сравнение показателей теряет смысл. Отрицательное основание не определяет действительное значение для произвольного действительного показателя.

Алгоритм решения

1. Найдите область допустимых значений. Особенно внимательно проверяйте знаменатели, корни, логарифмы и переменное основание.
2. Приведите неравенство к удобному виду. Попробуйте получить одинаковые основания или перенести всё в одну сторону.
3. Выберите метод. Сравнение показателей, вынесение общей степени, замена t=a^x, логарифмирование или метод интервалов.
4. Следите за знаком. Делить можно без смены знака только на заведомо положительное выражение. Степень a^x положительна при a>0.
5. Вернитесь к x. После замены учтите t>0 и сделайте обратный переход.
6. Пересеките ответ с ОДЗ и проверьте граничные точки, если знак нестрогий.

Метод 1. Одинаковые основания

Основание больше 1

Решим 2^x+1>8. Представим 8 как 2³:

2^x+1>2³.

Основание 2 больше 1, функция возрастает, поэтому знак сохраняется: x+1>3. Получаем x>2.

Основание между 0 и 1

Решим (1/3)^2x−1≥(1/3)⁵. Основание 1/3 находится между 0 и 1, функция убывает. Большему значению степени соответствует меньший показатель, поэтому знак меняется:

2x−1≤5, откуда 2x≤6 и x≤3.

Быстрая проверка: при x=0 левая часть (1/3)⁻¹=3, правая — 1/243; неравенство верно. Значение 0 входит в x≤3.

Метод 2. Приведение к одному основанию

Решим 4^x≤8. Обе части можно записать как степени двойки:

4^x=(2²)^x=2^2x, а 8=2³.

Получаем 2^2x≤2³. Основание 2>1, поэтому 2x≤3 и x≤3/2.

При преобразовании (a^m)ⁿ=a^mn важно, чтобы исходные степени были корректно определены. В наших примерах основание положительно.

Метод 3. Замена t=a^x

Если встречаются 4^x и 2^x, заметим: 4^x=(2^x)². Решим:

4^x−5·2^x+4≤0.

Пусть t=2^x. Обязательно записываем t>0. Тогда:

t²−5t+4≤0, то есть (t−1)(t−4)≤0.

Квадратный трёхчлен неположителен между корнями: t∈[1;4]. Возвращаемся к x:

1≤2^x≤4, или 2⁰≤2^x≤2². Поскольку основание 2>1, получаем x∈[0;2].

Ограничение t>0 здесь не сужает [1;4], но в других задачах оно отбрасывает отрицательные решения вспомогательного неравенства.

Метод 4. Вынесение общей степени

Решим 3^x+1−3^x>18. Вынесем 3^x:

3^x(3−1)>18, значит 2·3^x>18 и 3^x>9=3².

Основание 3>1, поэтому x>2. Деление на 2 безопасно, потому что 2 положительно. Аналогично деление на a^x при a>0 не меняет знак: такая степень всегда положительна.

Что делать с разными основаниями

Сначала ищите общий базис: 8=2³, 9=3², 0,25=(1/2)². Если общего удобного основания нет, для положительных частей можно применить логарифм. Например, 2^x>5 эквивалентно x>log₂5, потому что 2>1.

Логарифмировать обе части можно только когда они положительны. Кроме того, если используется логарифм с основанием между 0 и 1, он убывает и меняет знак. В базовом курсе удобнее выбирать логарифм с основанием больше 1, например натуральный.

Когда нужно ОДЗ

В простом 2^f(x)>2^g(x) показатели могут быть любыми действительными выражениями, если сами выражения определены. Но дополнительные конструкции создают ограничения:

• в 2^x/(x−3)>0 требуется x≠3;
• в (x−1)^√x для обычного школьного определения нужны отдельные условия на корень и основание;
• в log₂(x−1)<3 требуется x>1, хотя это уже логарифмическое неравенство.

Если переменная находится и в основании, задача обычно выходит за рамки простейших показательных неравенств: нельзя автоматически сравнивать показатели без анализа основания.

Типичные ошибки

• Всегда сохранять знак. При 0<a<1 направление меняется.
• Считать a=1 обычным основанием. 1^u=1^v при любых допустимых u и v.
• Забыть t>0. При t=a^x отрицательные и нулевые t невозможны.
• Делить на выражение неизвестного знака. Сначала установите знак или используйте метод интервалов.
• Потерять границу. Для ≤ и ≥ корень включают, если он принадлежит ОДЗ.
• Записать ответ одной точкой. Решение неравенства обычно множество или объединение промежутков.

Задачи для практики

1. Решите 5^2x−3<25.

Решение

25=5², основание 5>1: 2x−3<2, 2x<5. Ответ: x<5/2.

2. Решите (1/2)^x+4>1/8.

Решение

1/8=(1/2)³. Основание убывает: x+4<3. Ответ: x<−1.

3. Решите 9^x−10·3^x+9≥0.

Решение

t=3^x>0. Получаем t²−10t+9≥0, или (t−1)(t−9)≥0. t≤1 или t≥9. Возвращаемся: 3^x≤1=3⁰ или 3^x≥9=3². Ответ: x≤0 или x≥2.

4. Решите 2^x+2^x+1≤12.

Решение

2^x(1+2)≤12, значит 3·2^x≤12, 2^x≤4=2². Ответ: x≤2.

Частые вопросы

Почему знак меняется при дробном основании?

Потому что функция y=a^x при 0<a<1 убывает. Например, (1/2)¹=1/2, а (1/2)²=1/4: большему показателю соответствует меньшее значение.

Можно ли делить на 2^x?

Да: 2^x>0 при любом действительном x, поэтому знак неравенства не меняется. Делить на выражение, знак которого неизвестен, без отдельного анализа нельзя.

Чем показательное неравенство отличается от уравнения?

Уравнение ищет значения, при которых части равны. Неравенство обычно задаёт целые промежутки значений, поэтому особенно важны направление знака и включение границ.

Что изучать дальше

Основа всех равносильных переходов — монотонность. Повторите график и свойства показательной функции и методы решения показательных уравнений, затем переходите к логарифмическим неравенствам.

Перейти к курсу «Степени и корни»