Короткий ответ: при решении логарифмического неравенства сначала записывают ОДЗ, затем сравнивают аргументы. Если основание a > 1, знак неравенства сохраняется; если 0 < a < 1, знак меняется на противоположный. В конце решение обязательно пересекают с ОДЗ.
Почему основание влияет на знак
Функция y = logax определена при x > 0. При a > 1 она возрастает: большему аргументу соответствует больший логарифм. При 0 < a < 1 она убывает: большему аргументу соответствует меньший логарифм.
«Логарифм» — область определения и монотонность.
| Основание | Поведение | Переход |
|---|---|---|
| a > 1 | Возрастает | logaf > logag ⇔ f > g при f,g > 0 |
| 0 < a < 1 | Убывает | logaf > logag ⇔ f < g при f,g > 0 |
Алгоритм решения
- Запишите условия существования всех логарифмов: аргументы положительны; основания положительны и не равны 1.
- Приведите обе части к логарифмам с одинаковым основанием или используйте свойства логарифмов.
- Определите, возрастает или убывает логарифмическая функция.
- Перейдите к сравнению аргументов, сохранив или изменив знак.
- Решите полученное неравенство.
- Пересеките результат с ОДЗ и запишите ответ интервалами.
Логарифмические неравенства: школьный разбор — алгоритм и примеры.
Простейшие неравенства
Основание больше единицы
Решим log3(2x − 1) ≥ 2.
ОДЗ: 2x − 1 > 0, то есть x > 1/2. Представим 2 как log39. Поскольку 3 > 1, знак сохраняется: 2x − 1 ≥ 9, откуда x ≥ 5. Пересечение с ОДЗ не меняет ответ: [5; +∞).
Основание между нулём и единицей
Решим log1/2(x + 2) > log1/24.
ОДЗ: x + 2 > 0, то есть x > −2. Основание 1/2 меньше 1, поэтому знак при сравнении аргументов меняется: x + 2 < 4, откуда x < 2. Пересекаем: −2 < x < 2. Ответ: (−2; 2).
Два логарифма и ОДЗ
Решим log2(x + 3) ≤ log2(7 − x).
ОДЗ: x + 3 > 0 и 7 − x > 0, значит −3 < x < 7. Основание 2 > 1, знак сохраняется: x + 3 ≤ 7 − x, то есть 2x ≤ 4 и x ≤ 2. Пересечение даёт (−3; 2]. Левая граница не включается из-за строгого условия аргумента.
Свойства логарифмов и метод интервалов
Решим log2(x − 1) + log2(x − 3) ≤ 3.
ОДЗ исходного выражения: x > 3. Объединяем логарифмы: log2[(x − 1)(x − 3)] ≤ log28. Основание больше 1:
(x − 1)(x − 3) ≤ 8, или x² − 4x − 5 ≤ 0. Корни −1 и 5, поэтому решение квадратного неравенства [−1; 5]. Пересекаем с x > 3: (3; 5].
Нельзя заменить исходное ОДЗ только условием (x − 1)(x − 3) > 0: оно допустило бы x < 1, где оба исходных логарифма не существуют.
Переменное основание
Если основание зависит от x, одного сравнения недостаточно. Нужно учесть a(x) > 0, a(x) ≠ 1 и отдельно рассмотреть случаи a(x) > 1 и 0 < a(x) < 1, потому что направление сравнения различается.
Например, для logx4 > 1 сначала требуются x > 0 и x ≠ 1. При x > 1 функция по аргументу возрастает, и сравнение logx4 > logxx равносильно 4 > x, что даёт 1 < x < 4. При 0 < x < 1 имеем ln 4 > 0 и ln x < 0, поэтому logx4 = ln 4 / ln x < 0; условие logx4 > 1 не выполняется. Итог: (1; 4). Этот пример показывает, почему переменное основание нельзя обрабатывать механически.
Типичные ошибки
- Не менять знак при 0 < a < 1. Проверьте монотонность до перехода к аргументам.
- Менять знак дважды. Знак меняется из-за убывания логарифма; обычные правила алгебры продолжают действовать отдельно.
- Использовать нестрогое ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
- Терять ОДЗ после объединения логарифмов. Храните ограничения исходного выражения.
- Включать запрещённую границу. Проверяйте круглые и квадратные скобки в интервальном ответе.
Практика
1. log5(x + 4) < 1
ОДЗ x > −4. Так как 5 > 1, x + 4 < 5, то есть x < 1. Ответ: (−4; 1).
2. log1/3(2x − 1) ≤ −1
ОДЗ x > 1/2. −1 = log1/33. Основание меньше 1, поэтому 2x − 1 ≥ 3; x ≥ 2. Ответ: [2; +∞).
3. log4(x − 2) > log4(10 − x)
ОДЗ: 2 < x < 10. Основание больше 1: x − 2 > 10 − x, откуда x > 6. Ответ: (6; 10).
4. log2(x² − 1) ≤ 3
ОДЗ: x² − 1 > 0, то есть x < −1 или x > 1. Сравнение аргумента с 8 даёт x² − 1 ≤ 8, то есть −3 ≤ x ≤ 3. Пересечение: [−3; −1) ∪ (1; 3].
Частые вопросы
Почему ответ не проверяют подстановкой одного числа?
Ответ неравенства обычно содержит бесконечно много чисел. Надёжнее выполнять равносильные преобразования и пересекать множества с ОДЗ; отдельные тестовые точки можно использовать как контроль.
Когда нужен метод интервалов?
Когда после удаления логарифмов получается рациональное или полиномиальное неравенство, особенно с произведениями и дробями.
Нужно ли сначала изучить логарифмические уравнения?
Желательно: свойства и ОДЗ общие, но в неравенствах добавляется ключевой шаг с монотонностью и направлением знака.
Связанные темы
Повторите свойства логарифмов, базовые приёмы решения логарифмических уравнений и метод интервалов.
Повторить степени и корни можно в курсе «Степени и корни».