Великая теорема Ферма утверждает: при целом n>2 уравнение xn+yn=zn не имеет решений в положительных целых числах. Положительных рациональных решений тоже нет: общий знаменатель превратил бы их в целые.
Задача 1. Проверьте, что тройка (7, 24, 25) — пифагорова.
Решение. 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Верно. Тройка пифагорова, и это одна из «бесконечно многих» троек для n = 2.
Ферма оставил утверждение на полях «Арифметики» Диофанта в XVII веке. В 1995 году доказательство было опубликовано в статье Эндрю Уайлса и совместной статье Ричарда Тейлора и Уайлса. Короткая формулировка связала историю старой задачи с новыми методами теории чисел.
Различие степеней здесь принципиально. Для n=2 существуют бесконечно многие пифагоровы тройки, например 3, 4, 5. Для целого n>2 таких положительных целочисленных троек нет. Это общий запрет для всех размеров чисел, поэтому перебор небольших значений может иллюстрировать утверждение, но не заменяет доказательства.
Задачу исследовали несколько столетий. Работа Уайлса опубликована на страницах 443–551, совместная статья Тейлора и Уайлса — на страницах 553–572 одного выпуска Annals of Mathematics. Это 109 и 20 страниц соответственно. Доказательство использует методы, которых во времена Ферма ещё не было; его собственное полное рассуждение не сохранилось.
Содержание
Простая игра, в которую нельзя выиграть
Есть отличная игра для карантина или долгой дороги. Берёте двух школьников и говорите: «Найдите мне три целых положительных числа — a, b, c — такие, что куб первого плюс куб второго равны кубу третьего». Они будут пыхтеть и пробовать: 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9. Но 9 — не куб. 3³ + 4³ = 27 + 64 = 91. Не куб. 5³ + 6³ = 125 + 216 = 341. Тоже не куб.
И так можно сидеть до позднего вечера, вооружившись калькулятором. Все комбинации проваливаются. Именно это и гарантирует теорема Ферма: сколько ни пробуй, не получится. Для второй степени такая игра выигрывается легко (3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13²), а начиная с куба — ни за что.
А откуда вообще взялась эта теорема?
Пьер Ферма служил юристом и советником парламента в Тулузе. Математикой он занимался наряду с юридической работой, переписывался с другими исследователями и оставлял замечания на полях «Арифметики» Диофанта. Эти записи содержали утверждения и идеи решения, но не всегда полный ход доказательства. Именно разница между сформулированным результатом и сохранившимся обоснованием важна для дальнейшей истории.
В разделе о пифагоровых тройках Ферма оставил известную заметку о более высоких степенях. Он умер в 1665 году, а в 1670 году его сын опубликовал издание «Арифметики» с отцовскими замечаниями. Утверждение о степенях выше двух оставалось без общего доказательства несколько столетий. Английское название Fermat’s Last Theorem закрепилось за этой задачей; оно не означает, что Ферма сформулировал её последней по времени.
Почему для квадратов получается, а для кубов — нет
Для n = 2 уравнение a² + b² = c² — это теорема Пифагора. Троек целых решений бесконечно много: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)… Древние умели строить их десятками с помощью простой формулы Евклида: a = m²−n², b = 2mn, c = m²+n². Подставьте целые m > n > 0 — получите тройку положительных чисел.
Для кубов уже возникает парадокс. Если нарисовать кубик объёмом 27 (сторона 3) и кубик объёмом 64 (сторона 4), их общий объём — 91. Но кубика со стороной ровно ∛91 ≈ 4,498 не существует в целых числах. В двумерном мире квадраты можно красиво соединять (теорема Пифагора работает геометрически), а в трёхмерном и выше — не получается.
Интуиция здесь слабо помогает: казалось бы, решений должно быть хотя бы какое-то. Но нет. И доказать, что их совсем нет, для любого n ≥ 3 сразу — чудовищно трудно. Именно этот контраст между простой формулировкой и невероятной сложностью доказательства и делал задачу знаменитой.
Два подхода к теореме
Подход 1. Элементарный — лезем в лоб
Сам Ферма успел (и оставил запись!) для n = 4. Он придумал метод «бесконечного спуска»: предположил, что решение существует, и показал, что из него можно построить решение в меньших числах, потом ещё меньших, и так до бесконечности. Но положительные целые числа не могут уменьшаться бесконечно — значит, исходного решения и не было.
Эйлер опубликовал доказательство случая n=3 в 1770 году. В аргументе был пробел, который можно устранить с помощью других его результатов. В начале XIX века Софи Жермен получила важный частный результат. Куммер доказал теорему для регулярных простых показателей, используя свою теорию идеальных чисел. Отдельные случаи помогали развивать методы, но сами по себе не покрывали все показатели.
До общего доказательства исследовали отдельные показатели n и выполняли компьютерные проверки. Но любое конечное число проверок оставляет непроверенные случаи: утверждение относится ко всем целым n>2. Поэтому отсутствие контрпримеров в выбранном диапазоне ещё не заменяет доказательство. Нужен аргумент, который охватывает все допустимые показатели и положительные целые значения x, y, z.
Подход 2. Современный — обходной манёвр через эллиптические кривые
В 1955 году Танияма поставил вопросы об эллиптических кривых. Работы Таниямы, Шимуры и Вейля 1950–1960-х годов привели к гипотезе модулярности: эллиптические кривые над рациональными числами связаны с модулярными формами. Гипотеза соединяла два математических языка; позже именно эта связь открыла путь к теореме Ферма.
Герхард Фрай предложил связь с эллиптическими кривыми: предполагаемое решение уравнения Ферма привело бы к кривой с особыми свойствами. В 1986 году Кен Рибет доказал результат, необходимый для этого перехода. Следовательно, доказательство нужной части гипотезы модулярности исключало бы решение Ферма. Цепочка превращала поиск числовой тройки в вопрос о свойствах кривых.
Именно этот обходной путь и выбрал Эндрю Уайлс.
Эллиптические кривые: связь с криптографией и её границы
Уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ выглядит далёким от повседневных задач. Однако его доказательство связывает несколько областей математики. Эллиптические кривые встречаются и в практических задачах, но связь этих применений с теоремой Ферма требует уточнения.
Эллиптические кривые встречаются и в современной криптографии: например, в некоторых схемах обмена ключами и цифровой подписи. Но безопасность этих схем не следует из великой теоремы Ферма, а доказательство Уайлса не является их алгоритмом. В статье о теореме нас интересуют кривые над рациональными числами и их модулярность; криптографические схемы используют другие задачи, в том числе над конечными полями. Общий математический объект не означает одинаковую задачу или прямую причинную связь между двумя применениями.
Значение результата Уайлса шире ответа на старую задачу. Доказательство связывает эллиптические кривые с модулярными формами и развивает методы теории чисел. Это пример того, как решение конкретного вопроса раскрывает связи между математическими областями. Практическую пользу таких методов исследуют отдельно: история теоремы сама по себе не доказывает, что она создала индустрию или обеспечивает безопасность банковских операций.
Попробуй сам
Задача 2. Найдите такие целые положительные x, y, z, что x³ + y³ = z³ при x ≤ 10, y ≤ 10.
Решение. Таких троек нет. Это и есть смысл теоремы Ферма для n = 3 (доказал Эйлер): никаких целых положительных решений не существует, ни при малых, ни при больших x, y. Задача-ловушка, проверяющая, поняли ли вы теорему.
Задача 3. Разложите 1729 = a³ + b³ двумя разными способами — это знаменитое «число Рамануджана».
Решение. 1729 = 1³ + 12³ = 1 + 1728. 1729 = 9³ + 10³ = 729 + 1000. Два разных разложения! Это не контрпример к Ферма — здесь сумма двух кубов равна числу, а не кубу (1729 — не куб). Но сама задача показывает, насколько тонко устроена арифметика кубов. Историю о Рамануджане и этом числе мы разбираем в отдельной статье.
Семь лет в тайне и одна ошибка
В десять лет Уайлс нашёл книгу о теореме Ферма в местной библиотеке. Позже он стал математиком, а результат Рибета дал ему конкретный путь к задаче. В 1986 году Уайлс начал работу над доказательством и около семи лет занимался ею, не раскрывая основную цель коллегам. История показывает, что понятное условие задачи и доступный метод её решения могут появиться в разные эпохи.
В июне 1993 года в Кембридже Уайлс объявил результат, из которого следовала теорема Ферма. Позднее в аргументе обнаружился пробел, поэтому объявление ещё не было окончательной завершённой публикацией. Для истории доказательства важно различать первое сообщение, проверку специалистами и исправленную работу: именно проверка выявила место, требовавшее дополнительного аргумента.
После обнаружения пробела Уайлс работал над исправлением вместе с Ричардом Тейлором. Решающий шаг был сделан в сентябре 1994 года, а в 1995 году вышли две статьи, завершившие доказательство. Объявление результата, проверка аргумента и окончательная публикация — разные события: между ними требовалась дополнительная математическая работа.
Удивительный финал: Ферма, похоже, ошибся
Сохранилось ли полное доказательство, о котором Ферма писал на полях? Нет: известна его заметка, но полный аргумент не дошёл до нас. Доказательство Уайлса использует эллиптические кривые, модулярные формы, теорию Галуа и другие методы XIX–XX веков. Из этого нельзя восстановить, что именно думал Ферма и где мог ошибиться.
Многие историки предполагают, что Ферма принял неполный аргумент за общее доказательство. Однако установить его рассуждение невозможно. В математике авторская уверенность и проверяемое доказательство различаются: результат должен работать для каждого допустимого показателя, а не только для нескольких примеров. Эта граница помогает понять, почему задача оставалась открытой так долго.
Короткая запись на полях книги может поставить задачу, над которой будут работать поколения математиков. История Ферма показывает, как простая формулировка приводит к глубокому исследованию.
Часто задаваемые вопросы
Почему она называется «великая» и «последняя» одновременно?
В английском языке принято название Fermat’s Last Theorem, в русском — «великая теорема Ферма». Оба названия обозначают одно утверждение. Слово Last связано с историей долго остававшейся открытой задачи, а не с порядком записей на полях или последней работой Ферма.
А для n = 2 решений действительно бесконечно много?
Да, и их легко генерировать. Возьмите два взаимно простых положительных целых m > n разной чётности. Тогда (m²−n², 2mn, m²+n²) — примитивная пифагорова тройка. Значит троек бесконечно много, и они распределены по всем масштабам.
А если разрешить дробные числа — решения найдутся?
Для положительных рациональных чисел решений также нет при целом n>2. Пусть x, y, z — дроби с общим положительным знаменателем D. Умножив уравнение на Dn, получили бы (Dx)n+(Dy)n=(Dz)n с положительными целыми Dx, Dy, Dz — противоречие теореме. Для положительных вещественных чисел решения существуют: при x=y=1/2 и n=3 получим z=∛(1/4), но это иррациональное число, а не рациональная дробь.
Получил ли Уайлс премию?
Уайлс получил Абелевскую премию 2016 года за доказательство теоремы Ферма через модулярность полустабильных эллиптических кривых. В 1998 году Международный математический союз вручил ему специальную серебряную награду. Она отличалась от медали Филдса: у той есть возрастное ограничение, и к моменту завершения доказательства Уайлс уже не отвечал ему. Денежные суммы и разные награды не следует смешивать.
Осталась ли какая-то «следующая теорема Ферма»?
Есть близкие нерешённые задачи. Гипотеза Била утверждает: если ax+by=cz, где a, b, c — положительные целые числа, а x, y, z — целые числа больше двух, то основания имеют общий простой множитель. За решение предложена премия в миллион долларов. Это отдельное утверждение: оно допускает разные показатели и не следует автоматически из теоремы Ферма.
1 комментарий к “Великая теорема Ферма: что утверждает и как её доказали”