Январь 1918 года. Лондон. Великий английский математик Г. Х. Харди приезжает в госпиталь навестить умирающего от туберкулёза друга — индийского математика Сринивасу Рамануджана. Чтобы разрядить неловкость, Харди замечает: «Я приехал на такси с совершенно скучным номером 1729». Рамануджан, едва приподнимаясь на подушке, отвечает мгновенно: «Нет, Харди. Это очень интересное число. Это наименьшее число, представимое как сумма двух кубов двумя разными способами». Этот диалог станет одной из самых знаменитых сцен в истории науки.
Кратко: Сриниваса Рамануджан (1887–1920) — индийский математик-самоучка, который без университетского образования, по старой библиотечной книге и интуиции, вывел более 3900 формул. Многие из них учёные разбирают до сих пор. Ему было 32 года, когда он умер.
🤯 Один блокнот меняет математику. После смерти Рамануджана осталось три тетради с примерно 3900 формулами — без доказательств, просто записанных как факты. Последний «потерянный блокнот» всплыл в библиотеке Кембриджа только в 1976 году, через 56 лет. Математики до сих пор работают с его записями, и почти каждая проверенная формула оказывается верной. В 2012 году Кен Оно доказал одну из гипотез Рамануджана, которая оказалась ключом к теории чёрных дыр.
Мальчик, который пересказывал учебники
Представь школьника, который в первом классе пришёл домой и рассказал родителям, чему равна длина земного экватора в милях — с точностью до целого. В третьем классе знал наизусть всю таблицу умножения до сотен. В седьмом — самостоятельно вывел формулы Эйлера и был разочарован, когда узнал, что их уже открыли до него. Так было в индийском городе Кумбаконам в конце XIX века. Мальчика звали Сриниваса.
В 15 лет ему в руки попала потрёпанная книга Джорджа Карра — «Краткий курс чистой математики», сборник из 5000 формул без доказательств. Другой посчитал бы это скучным справочником. Рамануджан прочитал её как приключенческий роман, восстанавливая доказательство каждой формулы самостоятельно. А когда формулы кончились, он начал придумывать свои.
Почему Рамануджан — главный научный парадокс XX века
Любой серьёзный математик — это плод многолетней школы. Учителя, университеты, коллеги, научные журналы. Рамануджан был абсолютным исключением. У него не было ни университета (его выгнали за то, что он заваливал все предметы, кроме математики), ни иностранной литературы, ни коллег-математиков рядом. Только маленькая библиотечная книга и собственная тетрадь.
За десять лет в почти полной изоляции он самостоятельно повторно открыл большую часть математики XIX века — а затем пошёл дальше. Когда в 1913 году он наконец решился написать в Кембридж профессору Харди и приложил страницу своих формул, Харди сначала подумал, что это мистификация: «Эти формулы должны быть верны, потому что если бы они не были верны, ни у кого не хватило бы воображения их придумать».
История про такси 1729 — как это работает
Проверьте сами с калькулятором. 1³ = 1 и 12³ = 1728, в сумме ровно 1729. А теперь по-другому: 9³ = 729, 10³ = 1000, в сумме снова 1729. Гладкое совпадение? Нет — это первое целое число, где такое совпадение вообще случается. Все меньшие числа, если и представимы как a³ + b³, то единственным способом. 1729 — первая точка, в которой «рецепты» раздвоились. Рамануджан удержал в голове такие факты про тысячи целых чисел одновременно.
Такие числа теперь так и называют: числа такси (taxicab numbers). Второе число такси — 87 539 319, оно представимо как сумма двух кубов тремя способами. Следующие нашли только с помощью суперкомпьютеров в конце XX века.
Формула, которая считает π быстрее всех
Если в предыдущей нашей статье про число π мы рассказывали, как его вычисляют рядами, то сейчас пришло время назвать чемпиона. Самая быстрая на сегодня формула для вычисления π — модификация формулы, которую Рамануджан записал в 1910 году, ещё живя в Индии.
Современные мировые рекорды по вычислению π — десятки триллионов знаков — считают на вариантах именно этой формулы (алгоритм братьев Чудновских, прямой наследник Рамануджана). Когда вы сегодня запускаете тест производительности процессора «вычислите π до 10 миллионов знаков», на самом деле ваш компьютер использует идеи, записанные столетним карандашом в индийской тетради.
Чем ещё мы обязаны Рамануджану
- Теория разбиений. Сколько способов разбить число 100 на сумму положительных целых? Оказывается, 190 569 292. Рамануджан с Харди нашли формулу, которая даёт это число почти мгновенно.
- Тета-функции Рамануджана. В 1990-х физики обнаружили, что эти функции описывают распределение собственных значений чёрных дыр. Рамануджан опередил теорию струн на 60 лет.
- Константа Рамануджана. Число eπ√163 удивительно близко к целому — оно отличается от 262 537 412 640 768 744 меньше чем на 10−12. Это не случайность, это следствие глубокой теории.
- Mock-модулярные формы. Последняя работа Рамануджана, написанная им за несколько недель до смерти. Полностью понята только в 2000-х, через 80 лет.
Где «живут» формулы Рамануджана в XXI веке
Криптография. Когда вы нажимаете замочек в браузере и видите «защищено», ваш компьютер и сервер договариваются о ключе шифрования через алгоритмы, связанные с теорией разбиений и модулярными формами — прямыми наследниками работ Рамануджана. Каждая онлайн-оплата картой — это, в каком-то смысле, его гонорар.
Физика. Теория струн использует его тета-функции для описания того, как колеблются 10-мерные объекты. Термодинамика чёрных дыр (знаменитая «формула энтропии Бекенштейна–Хокинга») опирается на асимптотику разбиений — опять Рамануджан. А в 2015 году его mock-модулярные формы помогли Мальдасене описать структуру информации, падающей в чёрную дыру.
Программирование. Когда вам нужно разложить большое число на множители или сгенерировать простое число на 1024 бита, вы используете алгоритмы из аналитической теории чисел — поля, в котором Рамануджан был пионером.
Попробуй сам
Рамануджан не разбрасывался задачами — он их коллекционировал. Вот три, с которыми можно посидеть вечером.
Задача 1 (тёплая). Проверьте, что 1729 действительно раскладывается двумя способами, и найдите разложение числа 4104.
1³ + 12³ = 1 + 1728 = 1729; 9³ + 10³ = 729 + 1000 = 1729. ✓
А 4104 = 2³ + 16³ = 8 + 4096 = 4104, и 4104 = 9³ + 15³ = 729 + 3375 = 4104. Это второе число такси (Ta₂). Дальше разложения становятся всё реже и реже.
Задача 2 (знаменитая Рамануджана). Чему равно √(1 + 2·√(1 + 3·√(1 + 4·√(…))))?
Рамануджан опубликовал эту задачу в индийском математическом журнале в 1911 году. Три месяца никто не ответил. Тогда он сам прислал решение: ответ равен просто 3. Идея: если f(n) = √(1 + n(n+2)), то f(n) = n·√(1 + (n+1)·√(1 + (n+2)·…)). Подставив n = 2, получаем ровно ту бесконечную запись, и f(2) = √9 = 3.
Задача 3. Покажите, что eπ > πe.
Подсказка в духе Рамануджана: обе стороны — это e в какой-то степени. Прологарифмируем: π ≷ e · ln π. Функция f(x) = x/ln x имеет минимум при x = e, значит π/ln π > e/ln e = e. Отсюда π > e · ln π, что и требовалось. Современный калькулятор подтверждает: eπ ≈ 23,14, а πe ≈ 22,46.
Короткая биография — пять ключевых моментов
1887, Эрод. Родился в семье клерка. Жили небогато, но мать учила его санскритской логике и математике.
1903, Кумбаконам. В 15 лет Рамануджан получает книгу Карра. Начинает заполнять собственные тетради формулами — ему хватит страниц на следующие 17 лет жизни.
1913, письмо в Кембридж. Харди получает конверт с десятью страницами формул. Половину он не понимает вообще. Показывает коллеге Литлвуду. После трёх часов обсуждения они пишут в Индию: «Приезжайте».
1914–1919, Тринити-колледж. Пять лет плодовитой работы. Рамануджан становится первым индийцем — членом Королевского научного общества. Но английская зима, нехватка вегетарианской еды и туберкулёз подкашивают его.
1920, Кумбаконам. Возвращается в Индию. За три месяца до смерти, лёжа с температурой, успевает записать ещё сотню формул — тех самых «mock-модулярных», которые математики разберут только через 80 лет.
Неожиданный финал: тетрадь, которая до сих пор работает
В 1976 году американский математик Джордж Эндрюс приехал в библиотеку Тринити-колледжа искать неопубликованные бумаги Рамануджана. В пыльной коробке между старыми журналами он нашёл «потерянную тетрадь» — 87 страниц формул, не переписанных ни в одно собрание сочинений. С тех пор Эндрюс и его коллеги публикуют математические статьи, где единственный источник — одна строчка, записанная в 1920 году рукой человека, которому не было и 33.
Кен Оно, математик Университета Эмори, как-то сказал: «Иногда я просыпаюсь с чувством, что Рамануджан — это не человек прошлого, а коллега, который отстаёт от меня всего на одну страницу тетради». В этом весь парадокс: одинокий индийский клерк, умерший в 32 года, продолжает работать соавтором в статьях, выходящих в 2020-х. Нужно ли более сильное доказательство того, что настоящая математика не знает времени?
Короткий FAQ
Почему Рамануджан не доказывал свои формулы?
Он рос в индийской традиции, где математику писали в стиле старых санскритских текстов: формула как утверждение, проверенное интуицией и примерами. Когда Харди попросил его оформлять работы по-европейски, Рамануджан старался, но признавался: «формулы приходят мне готовыми, как сны». Строгие доказательства за него потом писали его коллеги и ученики.
Все ли его формулы оказались верны?
Почти все. Из ~3900 формул из тетрадей примерно 30 оказались неточными или требующими уточнения — но даже в этих случаях в основе лежала верная идея. Процент точности — выше 99%. Для сравнения: в научных статьях уровня топ-журналов ошибок обычно больше.
Что такое «гипотеза Рамануджана»?
Это утверждение об оценке коэффициентов одной модулярной формы. Он сформулировал его в 1916 году. Доказательство нашли только в 1973-м — бельгийский математик Пьер Делинь, за что получил Филдсовскую медаль.
Есть ли книги или фильмы о Рамануджане?
Да. Лучшая книга — «Человек, который знал бесконечность» Роберта Канигела (1991), по ней снят одноимённый фильм 2015 года с Девом Пателом и Джереми Айронсом. А для математиков главная книга — пятитомник «Ramanujan’s Notebooks» Брюса Берндта, комментирующего каждую формулу.
Почему говорят, что он «видел формулы во сне»?
Сам Рамануджан верил, что его открытия ему «подсказывает» семейная богиня Намагири. Каждое утро он записывал в тетради то, что «увидел ночью». Современные психологи считают, что его мозг обрабатывал математические структуры во сне — так же, как у Менделеева периодическая таблица сложилась во сне. Только у Рамануджана это случалось почти каждую ночь.