Формулы сокращённого умножения: квадраты и разность квадратов

Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые работают в обе стороны. Слева направо они помогают раскрывать скобки, а справа налево — раскладывать многочлен на множители. Например, (a+b)² = a²+2ab+b², где a и b — два слагаемых внутри скобки.

В школьном курсе используют семь основных формул. Важно не только выучить их, но и научиться узнавать в выражении части, которые играют роль a и b.

Таблица семи формул

Название	Формула	Основное применение
Квадрат суммы	(a+b)² = a²+2ab+b²	Раскрыть квадрат скобки или узнать полный квадрат
Квадрат разности	(a−b)² = a²−2ab+b²	Раскрыть квадрат разности или свернуть трёхчлен
Разность квадратов	a²−b² = (a−b)(a+b)	Разложить выражение из двух квадратов на множители
Куб суммы	(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³	Раскрыть куб суммы
Куб разности	(a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³	Раскрыть куб разности
Сумма кубов	a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)	Разложить сумму двух кубов
Разность кубов	a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)	Разложить разность двух кубов

Эти равенства являются тождествами: они верны при любых допустимых значениях переменных. Для их применения не нужно решать уравнение или подбирать специальные числа. Однако при сокращении алгебраической дроби нужно отдельно учитывать область допустимых значений: исходный знаменатель не может быть равен нулю.

Как распознать нужную формулу

1. Определите направление. Если дана степень скобки, обычно требуется раскрытие. Если дан многочлен без скобок, может потребоваться разложение или свёртывание.
2. Посмотрите на степень. Квадраты приводят к степеням 2, кубы — к степеням 3.
3. Посчитайте слагаемые. В квадрате суммы или разности после раскрытия три слагаемых, в кубе — четыре. У разности квадратов до разложения только два слагаемых.
4. Выделите части a и b. В выражении (2x+3y)² роль a играет 2x, а роль b — 3y.
5. Проверьте коэффициенты и знаки. Для полного квадрата среднее слагаемое должно быть равно ±2ab.
6. Сделайте обратную проверку. Перемножьте полученные скобки обычным способом. Подстановка простого числа помогает обнаружить ошибку, но не доказывает тождество для всех значений.

Например, в трёхчлене 4x²−12x+9 крайние слагаемые равны (2x)² и 3². Удвоенное произведение оснований равно 2·2x·3=12x, а знак среднего члена отрицательный. Поэтому 4x²−12x+9=(2x−3)². Если бы средним членом было −10x, свернуть выражение по этой формуле было бы нельзя.

Квадрат суммы: почему появляется 2ab

Квадрат суммы — это произведение двух одинаковых двучленов:

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b².

Среднее слагаемое 2ab возникает из двух произведений: a·b и b·a. Поэтому запись (a+b)²=a²+b² неверна. Она теряет оба прямоугольника с площадью ab.

Та же формула получается геометрически. Квадрат со стороной a+b можно разделить на квадрат a×a, квадрат b×b и два прямоугольника a×b. Сумма их площадей равна a²+2ab+b². Алгебраическое и геометрическое рассуждения доказывают одно и то же тождество.

Раскрытие: (x+3)²=x²+2·x·3+3²=x²+6x+9. Свёртывание: x²+10x+25=x²+2·x·5+5²=(x+5)². Во втором направлении сначала извлекают основания крайних квадратов, а затем проверяют средний член.

Квадрат разности: что меняет минус

Раскроем скобки без готовой формулы:

(a−b)²=(a−b)(a−b)=a²−ab−ab+b²=a²−2ab+b².

Минус меняет знак среднего слагаемого, но последнее слагаемое b² неотрицательно и записывается со знаком плюс, потому что (−b)·(−b)=b². Например, (2x−5)²=(2x)²−2·2x·5+5²=4x²−20x+25. В обратном направлении 9y²−12y+4=(3y)²−2·3y·2+2²=(3y−2)².

Квадрат разности нельзя заменять разностью квадратов. Выражение (a−b)² содержит после раскрытия три слагаемых, а a²−b² раскладывается в произведение двух разных скобок.

Разность квадратов: раскрытие и разложение

При умножении сопряжённых выражений средние члены взаимно уничтожаются:

(a−b)(a+b)=a²+ab−ab−b²=a²−b².

Поэтому a²−b²=(a−b)(a+b). Формула работает только тогда, когда между двумя квадратами стоит минус. Сумма a²+b² над вещественными числами на линейные множители по этой формуле не раскладывается.

• Числа и переменные: 25x²−9=(5x)²−3²=(5x−3)(5x+3).
• Составные части: (x+1)²−16=((x+1)−4)((x+1)+4)=(x−3)(x+5).
• Повторное разложение: x⁴−16=(x²−4)(x²+4)=(x−2)(x+2)(x²+4).
• Алгебраическая дробь: (x²−9)/(x−3)=((x−3)(x+3))/(x−3)=x+3 при x≠3.

В последнем примере ограничение x≠3 сохраняется после сокращения. Полученное выражение x+3 определено при x=3, но исходная дробь при этом значении не имела смысла.

Как не перепутать три похожие формулы

Что дано	Признак	Результат
Квадрат суммы	Одна скобка с плюсом в квадрате	(a+b)²=a²+2ab+b²
Квадрат разности	Одна скобка с минусом в квадрате	(a−b)²=a²−2ab+b²
Разность квадратов	Два квадрата и минус между ними	a²−b²=(a−b)(a+b)

Полезная проверка: раскройте ответ обычным умножением. Например, (a−b)(a+b) даёт два противоположных средних члена, поэтому остаются только a²−b². А произведение (a−b)(a−b) содержит два одинаковых отрицательных средних члена и превращается в a²−2ab+b².

Формулы с кубами

В кубе суммы и разности четыре слагаемых. Коэффициенты 1, 3, 3, 1 совпадают со строкой треугольника Паскаля:

• (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³;
• (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³.

Для примера раскроем (2x−1)³. Подставляем a=2x и b=1: (2x)³−3(2x)²·1+3·2x·1²−1³=8x³−12x²+6x−1. Знаки в кубе разности чередуются: плюс, минус, плюс, минус.

Сумма и разность кубов используются в обратном направлении:

• 8x³+27=(2x)³+3³=(2x+3)(4x²−6x+9);
• x³−64=x³−4³=(x−4)(x²+4x+16).

Запомнить знак во втором множителе помогает проверка умножением. Для суммы кубов первый множитель содержит плюс, а средний член квадратного множителя — минус. Для разности кубов в первом множителе стоит минус, а во втором множителе a² + ab + b² между членами стоят плюсы. Это не означает, что каждый член положителен: при разных знаках a и b произведение ab отрицательно. Квадратный трёхчлен во втором множителе нельзя сокращать или заменять квадратом двучлена.

Прямое и обратное применение формул

Одна и та же формула решает разные типы задач. При раскрытии скобок движение идёт от короткой записи к многочлену: (3x+2)²=9x²+12x+4. При свёртывании — наоборот: 9x²+12x+4=(3x+2)². При разложении на множители x²−49 превращается в (x−7)(x+7).

Для составных выражений полезна временная замена. Пусть A=x−1. Тогда (x−1)²−25=A²−5²=(A−5)(A+5)=(x−6)(x+4). Замена не обязательна, но помогает увидеть структуру и не потерять скобки.

Иногда формула применяется несколько раз. Например, a⁴−b⁴=(a²−b²)(a²+b²)=(a−b)(a+b)(a²+b²). Над вещественными числами последний множитель a²+b² дальше по формуле разности квадратов не раскладывается.

Как применять формулы для устного счёта

Удобнее всего выбирать круглое число рядом с исходным:

• 102²=(100+2)²=10000+400+4=10404;
• 98²=(100−2)²=10000−400+4=9604;
• 49·51=(50−1)(50+1)=50²−1²=2499;
• 103·97=(100+3)(100−3)=10000−9=9991.

Формула сокращает вычисление, но не отменяет оценку результата. Например, 98² должно быть немного меньше 10000. Если получилось 10404, значит, знак среднего слагаемого выбран неверно.

Где встречаются эти тождества

В школьной алгебре формулы нужны для преобразования многочленов, сокращения дробей, решения уравнений и выделения полного квадрата. Последний приём помогает приводить квадратный трёхчлен к виду a(x−m)²+n при a≠0, исследовать график параболы и выводить формулу корней квадратного уравнения.

Как появилась формула квадрата суммы

Геометрическая запись тождества (a+b)²=a²+2ab+b² встречается уже в книге II «Начал» Евклида. В предложении 4 квадрат на целом отрезке разбирается на квадраты двух частей и два одинаковых прямоугольника. Современных букв у Евклида не было, но площадь разрезанного квадрата выражает то же равенство, которым пользуются в школьной алгебре.

Геометрический смысл тоже практичен. Разность площадей квадратов со сторонами a и b равна a²−b², а формула (a−b)(a+b) позволяет пересчитать её через разность и сумму сторон. В вычислениях квадрат разности появляется при работе с отклонением величины от среднего значения.

Формулы для степеней выше продолжают ту же идею. Например, коэффициенты разложения (a+b)⁴ равны 1, 4, 6, 4, 1. Их систематически описывает бином Ньютона. Но для уверенной школьной практики сначала достаточно научиться видеть семь базовых тождеств в обоих направлениях.

Типичные ошибки

• Пропущен средний член: (a+b)² не равно a²+b².
• Не возведён в квадрат коэффициент: (3x)²=9x², а не 3x².
• Неверный знак последнего слагаемого: в (a−b)² член b² записывается со знаком плюс и неотрицателен.
• Перепутаны квадрат разности и разность квадратов: это выражения разного вида.
• Не распознана составная часть: в (x+2y)² роль b играет всё выражение 2y.
• Сумма квадратов разложена как разность: a²+b²≠(a−b)(a+b).
• Потеряна область допустимых значений: после сокращения дроби ограничения исходного знаменателя сохраняются.
• Ошибочный знак в сумме кубов: a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²), а не (a+b)(a²+ab+b²).

После преобразования полезно раскрыть скобки обратно. Такая проверка занимает несколько строк и сразу обнаруживает потерянный коэффициент или неверный знак. Эти навыки понадобятся перед вычислением дискриминанта и при решении квадратных уравнений.

Практика

1. Раскройте (x+4)².
2. Сверните x²+14x+49 в квадрат двучлена.
3. Раскройте (2x−3)².
4. Сверните 4y²−12y+9 в квадрат двучлена.
5. Разложите 25a²−9 на множители.
6. Разложите (m+2)²−36 на множители.
7. Упростите (t²−16)/(t−4) и укажите ограничение.
8. Раскройте (2x+1)³.
9. Разложите 8a³−27 на множители.
10. Разложите y³+64 на множители.
11. Упростите (x+3)²−(x−3)².
12. Вычислите устно 102·98.

Ответы и краткие решения

1. x²+8x+16.
2. (x+7)², потому что 14x=2·x·7.
3. 4x²−12x+9.
4. (2y−3)².
5. (5a−3)(5a+3).
6. ((m+2)−6)((m+2)+6)=(m−4)(m+8).
7. t+4 при t≠4.
8. 8x³+12x²+6x+1.
9. (2a−3)(4a²+6a+9).
10. (y+4)(y²−4y+16).
11. Разность квадратов даёт ((x+3)−(x−3))((x+3)+(x−3))=6·2x=12x.
12. (100+2)(100−2)=10000−4=9996.

Частые вопросы

Сколько формул сокращённого умножения изучают в школе?

Обычно выделяют семь: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумму кубов и разность кубов. Формулы для более высоких степеней строятся по общему правилу бинома Ньютона.

Чем квадрат разности отличается от разности квадратов?

Квадрат разности — это (a−b)²; после раскрытия получается a²−2ab+b². Разность квадратов — это a²−b²; она раскладывается как (a−b)(a+b). В первом случае исходно есть одна скобка в квадрате, во втором — два квадратных выражения со знаком минус между ними.

Как проверить, что трёхчлен является полным квадратом?

Извлеките основания квадратов из первого и последнего слагаемых. Затем вычислите их удвоенное произведение. Если оно совпадает со средним слагаемым по модулю, трёхчлен можно свернуть; знак среднего члена определит знак в скобке.

Как быстрее запомнить формулы?

Полезнее несколько раз вывести квадраты обычным перемножением, чем заучивать их как фразу. Для кубов помогает последовательность коэффициентов 1, 3, 3, 1. Формулы суммы и разности кубов следует каждый раз проверять умножением, пока расположение знаков не станет привычным.

Можно ли применять формулы к выражениям, а не только к буквам?

Да. Например, в ((x+1)−y)² роль a выполняет всё выражение x+1, а роль b — переменная y. Важно сохранять скобки вокруг составной части на каждом шаге.

Почему сумма квадратов не раскладывается по формуле разности квадратов?

Произведение (a−b)(a+b) всегда равно a²−b²: средние члены уничтожаются, а последнее произведение равно −b². Получить знак плюс перед b² таким способом нельзя. Над вещественными числами a²+b² обычно оставляют без линейного разложения.

Что изучать дальше

После распознавания семи формул переходите к смешанным заданиям: действиям с многочленами, раскрытию скобок, разложению на множители и квадратным уравнениям. Именно в смешанных примерах приходится самостоятельно выбирать формулу и направление преобразования.

Материал подготовлен редакцией STEMskills. Об образовательном проекте.