Промежутки возрастания и убывания — это части области определения, на которых при движении по оси x слева направо значения функции соответственно строго растут или строго уменьшаются. По графику найдите точки, где направление меняется, горизонтальные участки и значения x, при которых функция не определена; затем запишите подходящие промежутки по оси x.
Содержание
Как читать движение графика
Представьте, что палец идёт по графику слева направо. Важна не высота линии над осью x, а то, как меняется её высота: вверх — функция возрастает, вниз — убывает. Формально для любых двух точек x1 < x2 одного промежутка возрастания должно выполняться f(x1) < f(x2); для убывания знак меняется на >. Это строгие условия. Ровная линия, где значения равны, не является ни строго возрастающей, ни строго убывающей, хотя она неубывающая и невозрастающая.
Здесь нельзя объединить левый и правый наклон в один ответ. Между ними есть горизонтальный участок, а сравнение любых двух точек всего графика уже не даёт одного строгого знака. Сначала проверьте область определения: интервал не может проходить через значение x, при котором функция не определена. Сам скачок при определённой точке не обязательно мешает строгому росту. Например, функция равна x при x < 0 и x + 1 при x ≥ 0: на каждой стороне значения растут, а при переходе через ноль правые значения больше левых. Она строго возрастает на всей числовой прямой, хотя в нуле есть скачок.
На практике такой вопрос возникает у графика температуры во времени: горячий чай может оставаться теплее нуля градусов и при этом остывать. Почему это полезно помнить? Знак значения температуры говорит, где график находится относительно нуля, а убывание говорит, в какую сторону меняется температура при увеличении времени. Это пример чтения графика, не обещание, что любое охлаждение описывается строго монотонной линией.
Два способа найти границы
Если график дан, отметьте повороты, ровные части и значения x, где функция не определена. Затем на каждом интервале области определения проверьте строгое сравнение значений слева направо; непрерывность для этого определения не обязательна. Записывайте промежутки значений x, а не высоты y. Открытая скобка означает, что конец не включён; квадратная — что точка существует и включена. В школьных ответах у точек поворота встречаются разные соглашения. Ниже концы включаются лишь там, где функция определена и строгое сравнение сохраняется на всём указанном промежутке.
Пример 1. Проследим всю ломаную от левого края к правому. У графика выше убывание на [−3;−1], постоянство на [−1;1], возрастание на [1;3]. Точки −1 и 1 можно включить в соседние строгие промежутки: при сравнении двух разных x внутри [−3;−1] высота уменьшается, а внутри [1;3] растёт. Но плоский отрезок не принадлежит ни одному из них целиком.
Когда вместо графика дана формула, знак производной помогает проверить направление там, где она существует. Положительная производная на всём интервале достаточна для строгого возрастания, отрицательная — для убывания. Почему этого достаточно? Теорема о среднем значении связывает изменение функции между любыми двумя точками с производной в одной из точек между ними. Но нулевая производная в одной точке не разрезает автоматически промежуток: x3 строго возрастает на всей прямой, хотя при x = 0 её производная равна нулю. Если производная равна нулю на целом интервале, функция на нём постоянна.
Пример 2. Теперь проверим направление параболы по производной. Для f(x) = x2 производная равна 2x. Слева от нуля она отрицательна, справа положительна: получаем убывание на (−∞;0] и возрастание на [0;+∞). Проверка парами точек это подтверждает: f(−2) = 4 > f(−1) = 1, а f(1) = 1 < f(2) = 4. Ноль входит в оба промежутка, но объединять их нельзя: на всей прямой строгого направления нет.
Проверьте себя на разных границах
Сначала назовите область определения, затем места смены направления. Открывайте ответ после собственной записи промежутков.
1. На [−2;4] график идёт от (−2;−1) к (1;2), затем к (4;−1). Где он возрастает и убывает?
Показать ответ к заданию 1
Возрастает на [−2;1], убывает на [1;4]. Точка поворота имеет аргумент один и входит в оба промежутка. Если вы записали промежутки значений y, вернитесь к оси x: граница поворота — x = 1.
2. Функция задана формулой f(x) = x3. Разделяет ли нулевая производная в точке 0 промежуток возрастания?
Показать ответ к заданию 2
Нет. Для любых x1 < x2 верно x13 < x23, поэтому функция строго возрастает на (−∞;+∞). Нулевая производная в одной точке не разрезает этот рост. Если разделили ответ у нуля, проверьте знак производной по обе стороны: он положителен и не меняется.
3. Функция f(x) = 1/x задана при x ≠ 0. Назовите все промежутки строгого убывания.
Показать ответ к заданию 3
На (−∞;0) и (0;+∞) по отдельности: производная −1/x2 отрицательна на каждой ветви. Оба промежутка убывания разделены нулём, в котором функция не определена. Если объединили их, сравните −1 и 1: f(−1) = −1, f(1) = 1. Нельзя назвать всю прямую промежутком убывания этой функции: ноль не входит в область определения, да и сравнение значений по разные стороны не даёт убывания. Подробные свойства этой функции разобраны в материале о гиперболе.
Если направление неочевидно, возьмите две точки одного предполагаемого промежутка и сравните их значения. Это быстро выявляет путаницу между «график расположен выше оси» и «график растёт». Для задачи с формулой перед проверкой производной найдите область определения: знак наклона не соединяет ветви через отсутствующую точку.
Дальше полезно потренироваться различать аргумент и значение функции: в разделе «Введение в функции» можно вернуться к этой связи, прежде чем читать более сложные графики.
Редакция STEMskills