Короткий ответ. Функция y=k/x при k≠0 задаёт обратную пропорциональность, её график — гипербола. Он состоит из двух ветвей, не пересекает оси координат и приближается к ним.
Гипербола в школьной алгебре — график обратной пропорциональности y=k/x. Значение x=0 запрещено, потому что на ноль делить нельзя.
Почему произведение xy не меняется
В обратной пропорциональности произведение xy постоянно и равно k. Поэтому если модуль x увеличивается, модуль y уменьшается. Знак произведения определяет, одинаковые или разные знаки имеют координаты точки, а значит — четверти графика.
Разбор на примере
Построим y=6/x. Для x=1,2,3,6 получаем y=6,3,2,1. Для отрицательных x получаются точки (-1;-6),(-2;-3),(-3;-2),(-6;-1). Нанесите обе группы и проведите две отдельные плавные ветви.
Ещё один пример
У функции y=-4/x при x=2 значение -2, а при x=-2 значение 2. Знак минуса переносит ветви во II и IV четверти; форма графика сохраняется.
Алгоритм решения
Запишите область определения x не равно нулю. Выберите симметричные положительные и отрицательные значения x, постройте таблицу, отметьте точки и отдельно проведите две ветви. В конце подпишите обе асимптоты и проверьте четверти по знаку k.
Как проверить ответ
Проверка: для y=6/x каждая выбранная точка должна давать произведение xy=6. Например, для точки (2;3) это верно. Точка (0;0) не проходит проверку, потому что выражение 6/0 не определено.
Как построить сдвинутую гиперболу
Сдвинутый график y=k/(x-a)+b строят от базовой гиперболы по тем же правилам: сначала мысленно сдвигают вертикальную асимптоту из x=0 в x=a, а горизонтальную из y=0 в y=b. Например, у y=2/(x-1)+3 запрещено x=1, а ветви приближаются к прямым x=1 и y=3. Полезнее сначала назвать асимптоты, а уже потом заполнять таблицу точек.
Где обычно ошибаются
Для базовой функции y=k/x при k≠0 нельзя соединять ветви через начало координат и нельзя подставлять x=0. Её координатные оси — асимптоты, а не часть графика: ветви приближаются к ним, но не пересекают. После сдвига асимптоты тоже сдвигаются; поэтому эти запреты нельзя автоматически переносить на координатные оси сдвинутого графика.
Проверьте себя
Для y=-12/x заполните таблицу при x=-6,-3,3,6, определите четверти ветвей и назовите две асимптоты.
Область определения, значения и монотонность
Для y=k/x при k≠0 область определения — все действительные x, кроме нуля. Область значений — все действительные y, кроме нуля: равенство k/x=0 невозможно, а для любого ненулевого y можно взять x=k/y.
При k>0 функция убывает на каждом из промежутков (−∞;0) и (0;+∞); при k<0 — возрастает на каждом из них. Нельзя соединять эти два утверждения в «убывает на всей области определения»: промежутки разделены запрещённой точкой, и пары x по разные стороны нуля требуют отдельного сравнения.
Где возникает обратная пропорциональность
На практике обратная пропорциональность возникает при расчёте времени поездки. Если нужно проехать 120 км с постоянной скоростью v, время равно t=120/v. При v=40 км/ч получим 3 часа, при v=60 км/ч — 2 часа. В такой задаче физический смысл имеет только v>0: отрицательная ветвь математического графика к поездке не относится. Постоянно произведение скорости на время, а не их сумма.
Проверка таблицы для y=−12/x
| x | −6 | −3 | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 4 | −4 | −2 |
Каковы асимптоты y=−12/x?
x=0 и y=0. При x→0 модуль значения неограниченно растёт; при увеличении |x| значение приближается к нулю, но не достигает его.
Принадлежит ли точка (−2; 4) графику y=−8/x? Найдите ещё одну точку.
Да: (−2)·4=−8. Например, при x=4 получаем y=−2, то есть (4; −2). Эти точки лежат в разных ветвях; соединять их отрезком через оси нельзя.
Для y=3/(x+2)−1 назовите запрещённый аргумент и обе асимптоты.
x≠−2; асимптоты x=−2 и y=−1. Запись x+2 означает сдвиг влево на 2, а не вправо. Например, при x=1 получаем y=0: сдвинутая гипербола может пересекать координатные оси, хотя не пересекает свои асимптоты.
Любая ли гипербола имеет вид y=k/x?
Нет. Здесь рассматривается школьный график обратной пропорциональности и его сдвиги. В геометрии слово «гипербола» обозначает более широкий класс кривых. Например, уравнение x²−y²=1 тоже задаёт гиперболу, но не является графиком y=k/x в этих координатах. Для этого урока достаточно модели k/x; смешивать разные определения при построении не нужно.
Связанные темы
Сравните прямую и обратную пропорциональность. У прямой постоянно отношение y/x, у обратной — произведение xy. Поэтому первая даёт прямую через начало координат, а вторая — две ветви гиперболы при ненулевом коэффициенте.
Частый вопрос
Чем больше модуль k, тем дальше от начала координат находятся точки при одном и том же x. Это видно из произведения xy=k: при фиксированном x модуль y растёт вместе с модулем k.
Продолжить изучение функций
Формула и график должны объяснять друг друга. Посмотрите программу курса «Введение в функции» и выберите, какие зависимости разобрать дальше.