Короткий ответ. Условная вероятность отвечает на вопрос о событии A после того, как уже известно событие B. Она равна P(A|B)=P(A∩ B)/P(B), если P(B)>0.
При конечном наборе равновероятных исходов условная вероятность P(A|B) — доля исходов с событием A среди тех, где произошло B. Вертикальная черта читается «при условии B».
Что нужно увидеть в условии
Условие B меняет исходное пространство. Поэтому в таблице или дереве сначала выделяют строку, ветвь или группу B, а уже внутри неё отмечают A. Если условие звучит «среди тех, кто…», именно эта группа станет знаменателем.
Разбор на примере
Случайно и равновероятно выбираем одного из 20 учеников: 8 занимаются шахматами, а 5 из этих восьми — ещё и программированием. Среди шахматистов вероятность заниматься программированием равна 5/8, а не 5/20: условие уже сузило группу до восьми.
Ещё один пример
Из перемешанной колоды из 52 карт без джокеров случайно достали карту и узнали, что она червовой масти. Вероятность, что это туз, равна 1/13: среди 13 червей ровно один туз червей. Без условия вероятность туза была бы 4/52, то есть тоже 1/13, это следствие независимости масти и достоинства в данной модели, а не правило для любых событий.
Алгоритм решения
Обозначьте событие, о котором спрашивают, буквой A, а данное условие — B. Проверьте, что P(B)>0. В конечной модели с равновероятными исходами посчитайте исходы B и исходы, где происходят оба события. Разделите второе число на первое. Если исходы неравновероятны, найдите P(A∩B) и P(B) и разделите вероятности, а не количества.
Как проверить ответ
Проверка: в примере с шахматистами дробь 5/8 меньше единицы и её числитель не превышает знаменатель. Если в знаменатель снова поставить 20, получится обычная вероятность совместного события, а не условная.
Почему этот приём работает
Условную вероятность удобно читать по дереву. Сначала выбирается ветвь B, а затем внутри неё — ветвь A. Вероятность пройти обе ветви равна произведению P(B)· P(A|B). Отсюда получается и формула: совместную вероятность делят на вероятность условия. Важно не путать порядок: P(A|B) и P(B|A) обычно разные, потому что после условия меняются разные группы исходов.
Где обычно ошибаются
Самая частая ошибка — делить число благоприятных исходов на общее число участников, забывая условие. Нельзя вычислять P(A|B), если P(B)=0: в знаменателе получится ноль; данная формула не определена. В непрерывных моделях возможны отдельные определения, которые здесь не рассматриваются.
Проверьте себя
В коробке 6 синих и 4 красных шара. Из коробки равновероятно выбирают один шар; известно, что он синий. Какова вероятность, что он с номером 1, если среди синих ровно один шар с номером 1? Опишите сначала новую группу исходов.
Когда можно считать исходы, а когда нужны вероятности
Формула P(A|B)=P(A∩B)/P(B) справедлива при P(B)>0. Заменять вероятности количеством исходов можно только в конечной модели, где исходы равновероятны. Например, выбираем каждого ученика с одинаковым шансом или случайно берём одну карту из хорошо перемешанной колоды из 52 карт без джокеров.
Если исходы имеют разные веса, одного подсчёта недостаточно. Пусть три возможных исхода имеют вероятности 0,5; 0,3; 0,2. Условие B оставляет первые два, а A — только первый. Тогда P(A|B)=0,5/(0,5+0,3)=0,625, а не 1/2.
Почему нельзя менять местами A и B
Уточним пример с учениками: из 20 человек восемь играют в шахматы, десять программируют, пятеро делают и то и другое. Если случайно выбранный человек — шахматист, шанс, что он программирует, равен 5/8. Если известно, что он программирует, шанс, что он шахматист, равен 5/10. Пересечение одно и то же, но знаменатели разные.
| Группа | Программируют | Не программируют | Всего |
|---|---|---|---|
| Играют в шахматы | 5 | 3 | 8 |
| Не играют в шахматы | 5 | 7 | 12 |
| Всего | 10 | 10 | 20 |
Условие иногда не меняет вероятность
Проверим независимость на разобранном примере с картами: условие «червовая» оставляет ту же долю тузов, что и во всей колоде, — 1/13=4/52. В каждой масти одинаковое число карт и ровно один туз. Поэтому события «туз» и «червовая» в этой модели независимы: P(A|B)=P(A). Для произвольной пары событий такое равенство ещё нужно проверить.
Где условная вероятность полезна
На практике условные доли помогают сравнивать группы. Например, в школьном кружке робототехники нужно сравнить долю участников, завершивших проект, отдельно среди новичков и среди ребят с опытом. В каждой группе свой знаменатель. Если просто поделить число успешных новичков на весь кружок, получится другая величина. При этом более высокая доля успеха в группе ещё не доказывает, что именно опыт вызвал разницу: состав групп тоже может различаться.
Ответ к задаче про шары
Среди шести синих шаров один с номером 1. Каков ответ?
При равномерном выборе шара из коробки и условии «шар синий» остаются шесть равновероятных исходов. Подходит один, поэтому вероятность равна 1/6. Четыре красных шара после условия в знаменатель не входят.
Бросили правильный кубик и узнали, что выпало чётное число. Какова вероятность числа больше 3?
После условия остаются равновероятные 2, 4 и 6. Из них больше 3 два исхода, поэтому ответ 2/3. Дробь 2/6 считала бы совместное событие, не учитывая известное условие.
P(B)=0,4, P(A∩B)=0,1. Найдите P(A|B). Достаточно ли этих данных для P(B|A)?
P(A|B)=0,1/0,4=0,25. Для обратного условия нужно знать P(A): оно не задано. Перестановка букв меняет знаменатель, даже когда пересечение одно и то же.
Связанные темы
Формула полной вероятности решает следующий вопрос: как объединить условные вероятности по нескольким непересекающимся группам. В ней вероятность события внутри каждой группы умножают на вероятность самой группы, а результаты складывают.
Частый вопрос
Условная вероятность не обязана быть больше обычной. Новое условие может увеличить шанс события, уменьшить его или не изменить. Сравнивать нужно P(A|B) и P(A), а не сами числа объектов.
От формулы вероятности к самостоятельным решениям
Понимать, что стоит в знаменателе, важнее заученной формулы. Продолжите тему в интерактивном курсе «Основы вероятности»: сначала посмотрите программу занятий.