Формула полной вероятности: объяснение и задачи

Формула полной вероятности применяется, когда событие A может произойти через одну из попарно несовместных гипотез H₁,…,Hₙ, которые вместе исчерпывают все варианты: P(A)=ΣP(Hᵢ)P(A|Hᵢ).

Знак Σ означает сумму по всем перечисленным гипотезам. Запись P(A|Hᵢ) читается «вероятность события A при условии гипотезы Hᵢ». Для каждого варианта умножьте его вероятность на вероятность события внутри этого варианта, затем сложите полученные вклады.

Условия применения

В одном испытании реализуется ровно одна гипотеза.
Гипотезы образуют полную группу: ΣP(Hᵢ)=1.
В школьной модели каждая гипотеза имеет положительную вероятность P(Hᵢ)>0, чтобы обычная условная вероятность P(A|Hᵢ) была определена.
Для каждой гипотезы известна P(A|Hᵢ).

Если термины пока непривычны, повторите основы теории вероятностей.

Как читать дерево вероятностей

Начало
├─ H₁: P(H₁) ── A: P(A|H₁)  → вклад P(H₁)·P(A|H₁)
└─ H₂: P(H₂) ── A: P(A|H₂)  → вклад P(H₂)·P(A|H₂)
                                  P(A) = сумма вкладов

Схема двух путей к событию A. Подпись возле каждой ветви — вероятность следующего шага, а вклад всего пути равен произведению двух вероятностей.

Вдоль одного пути вероятности умножают: сначала должна реализоваться Hᵢ, затем A при этой гипотезе. Разные пути Hᵢ→A несовместны, поэтому их вклады складывают. Итог — взвешенное среднее условных вероятностей.

Решённая задача о поставщиках

70% товара приходит от первого поставщика и 30% от второго. Доля брака у них 2% и 5%. Обозначим H₁ — первый поставщик, H₂ — второй, A — брак. Тогда P(A)=0,7·0,02+0,3·0,05=0,014+0,015=0,029, то есть 2,9%.

Алгоритм решения сюжетной задачи

Назовите событие A, вероятность которого нужно найти.
Выделите причины или источники Hᵢ. Проверьте, что они не пересекаются и покрывают все случаи.
Выпишите P(Hᵢ) и проверьте их сумму.
Выпишите P(A|Hᵢ), не перепутав направление условия.
Умножьте вероятности вдоль каждого пути и сложите вклады.
Проверьте: результат лежит между наименьшей и наибольшей P(A|Hᵢ).

Ещё один пример: выбор урны

Первую урну выбирают с вероятностью 0,4, вторую — с вероятностью 0,6. В первой красный шар выпадает с вероятностью 0,3, во второй — 0,8. Тогда P(красный)=0,4·0,3+0,6·0,8=0,12+0,48=0,60.

Не путайте с формулой Байеса

Полная вероятность отвечает на прямой вопрос: какова P(A), если известны возможные причины. Формула Байеса отвечает на обратный вопрос после наблюдения A: какова P(Hᵢ|A). Например, полная вероятность находит общую долю брака, а Байес — вероятность того, что уже найденный брак пришёл от первого поставщика. Разницу условных направлений показывает парадокс Монти Холла.

Типичные ошибки

Гипотезы не образуют полную группу. Если сумма P(Hᵢ) не равна 1, найдите пропущенный случай.
Складывают вероятности вдоль пути. Вдоль пути умножают, между несовместными путями складывают.
Путают P(A|H) и P(H|A). Прочитайте запись словами до вычисления.
Смешивают проценты и доли. Перед подстановкой 5% превратите в 0,05.

Проверьте себя

1. Машину выбирают с линии 1 с вероятностью 0,8 и с линии 2 с вероятностью 0,2. Доли дефектов 0,1 и 0,4. Найдите P(дефект).

Ответ: 0,8·0,1+0,2·0,4=0,16. Если сложили 0,1+0,4, вы не учли доли продукции линий.

2. В школе 40% учеников из младших классов и 60% из старших. Олимпиаду пишут 10% младших и 25% старших. Какова вероятность, что случайный ученик пишет олимпиаду?

Ответ: H₁ — младшие, H₂ — старшие, A — участие. P(A)=0,4·0,1+0,6·0,25=0,04+0,15=0,19.

3. Вероятности перечисленных гипотез равны 0,5, 0,3 и 0,1. Можно сразу применять формулу?

Ответ: нет, сумма 0,9. Не хватает случая с вероятностью 0,1 либо данные ошибочны.

4. Почему при P(H₁)=0 школьный калькулятор отклоняет данные?

Ответ: обычная формула P(A|H₁)=P(A∩H₁)/P(H₁) потребовала бы деления на ноль. Удалите невозможную гипотезу и заново составьте полную группу из положительно вероятных случаев.

5. Общая доля брака уже найдена. Нужно определить вероятность поставщика H₁ при условии брака A. Какая формула нужна?

Ответ: формула Байеса, потому что ищется обратная условная вероятность P(H₁|A), а не P(A).

Полная вероятность объединяет несколько путей к одному событию. Чтобы выбрать дальнейшие занятия о случайности и вероятностных моделях, посмотрите программу курса «Основы вероятности».

Материал подготовлен редакцией STEMskills. Об образовательном проекте.