Количество натуральных делителей числа находят по его разложению на простые множители. Если n = p1a1 · … · pkak, то d(n) = (a1 + 1) · … · (ak + 1). У числа 1 ровно один натуральный делитель — само число 1.
Формула считает положительные делители. Она работает потому, что в каждом делителе показатель простого pi можно независимо выбрать от 0 до ai. Это ai + 1 вариантов для каждого простого множителя, а независимые количества вариантов перемножаются.
Как считать количество делителей
- Разложите натуральное число на простые множители.
- Соберите одинаковые множители в степени.
- К каждому показателю прибавьте 1.
- Перемножьте полученные числа.
Ноль среди показателей важен: если простой множитель не входит в конкретный делитель, его показатель равен 0. Именно этот вариант и даёт прибавление единицы в каждом множителе формулы.
Пример 1. Почему у 36 девять делителей
Задача: найдём количество натуральных делителей числа 36 и перечислим их.
Разложение: 36 = 22 · 32. Для двойки можно выбрать показатель 0, 1 или 2; для тройки — тоже 0, 1 или 2. Поэтому d(36) = (2 + 1)(2 + 1) = 9.
| Меньший делитель | Парный делитель | Произведение |
|---|---|---|
| 1 | 36 | 1 · 36 |
| 2 | 18 | 2 · 18 |
| 3 | 12 | 3 · 12 |
| 4 | 9 | 4 · 9 |
| 6 | 6 | 6 · 6 |
Ответ: делители 36 — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36; всего 9. Пара 6 · 6 считается один раз, поэтому у точного квадрата может быть нечётное количество делителей.
Пример 2. Считать, не выписывая 24 числа
Задача: сколько натуральных делителей у числа 360?
Разложим: 360 = 23 · 32 · 51. Для показателя двойки есть 4 выбора, для тройки 3 выбора, для пятёрки 2 выбора.
| Простой множитель | Допустимые показатели | Количество вариантов |
|---|---|---|
| 2 | 0, 1, 2, 3 | 4 |
| 3 | 0, 1, 2 | 3 |
| 5 | 0, 1 | 2 |
| Всего сочетаний | 4 · 3 · 2 = 24 | |
Ответ: у числа 360 ровно 24 натуральных делителя. Например, выбор показателей 1, 0 и 1 даёт делитель 21 · 30 · 51 = 10; каждый другой набор показателей даёт другой делитель.
Три ошибки, которые меняют ответ
- Считать только простые множители. В 360 три различных простых множителя, но делителей 24.
- Забыть нулевой показатель. У степени pa есть a + 1 вариант: от 0 до a, а не только от 1 до a.
- Применить обычную запись формулы к единице. У 1 нет простых множителей, но есть один делитель. Здесь используют пустое произведение, равное 1: d(1)=1.
Быстрая проверка работает парами: если d делит n, то n/d тоже делитель. Все пары встречаются по разные стороны от квадратного корня; у точного квадрата одна средняя пара состоит из одинаковых чисел. Количество делителей и их сумма — разные характеристики. Если сложить все положительные делители, кроме самого числа, можно проверить, является ли оно совершенным: например, 1 + 2 + 3 = 6.
Задания с решениями
Задача 1. Сколько делителей у числа 1?
Решение: единственный натуральный делитель единицы — 1. Простых множителей нет, поэтому обычный список показателей пуст; пустое произведение равно 1. Ответ: d(1)=1.
Задача 2. Сколько делителей у числа 72?
Решение: 72 = 23 · 32, поэтому d(72) = (3 + 1)(2 + 1) = 12. Ответ: 12 делителей.
Задача 3. Сколько делителей у числа 625?
Решение: 625 = 54. Показатель пятёрки можно выбрать пятью способами: 0, 1, 2, 3 или 4. Ответ: d(625)=4+1=5.
Задача 4. Сколько делителей у числа 540?
Решение: 540 = 22 · 33 · 5, поэтому d(540) = (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 3 · 4 · 2 = 24. Ответ: 24 делителя.
Если ответ не сходится с перебором, сначала проверьте разложение: перемножьте простые степени и получите исходное число. Затем убедитесь, что к каждому показателю прибавлена ровно единица.
Зачем считать делители
Делители показывают, на какие прямоугольные сетки можно разложить одинаковые объекты. Для 36 фишек возможны сетки 1×36, 2×18, 3×12, 4×9 и 6×6. Та же структура нужна в задачах на разбиение на равные группы, НОД и НОК, остатки и олимпиадную теорию чисел.