Экономическую задачу ЕГЭ на кредит или вклад удобно решать таблицей по периодам: запишите сумму на начало года, начислите процент на неё и только затем вычтите платёж либо прибавьте пополнение, если именно такой порядок дан в условии. Для кредита следующая строка начинается с оставшегося долга, а не с первоначальной суммы. Ниже — учебные модели с вымышленными ставками; они не описывают банковский продукт.
Содержание
Сначала восстановите календарь условия
Пусть долг в начале периода равен D, ставка за один период — r в долях, а платёж в конце периода — X. Тогда после начисления процентов долг равен D(1 + r), после платежа — Dнов = D(1 + r) − X. Например, 10% записывают как 0,1. Если в условии платёж стоит до начисления, порядок и формула меняются: сначала D − X, затем (D − X)(1 + r). Не подменяйте текст задачи привычной схемой.
Почему процент считают от остатка? Выплаченная часть основного долга больше не находится в долге на начало следующего периода. Процент за следующий период относится к тому, что ещё не погашено. Таблица сохраняет эти два момента времени отдельно и не даёт ошибочно начислить процент на уже возвращённые деньги.
| Шаг | Выражение | Что означает |
|---|---|---|
| Начало | D | Непогашенный долг |
| Начисление | D + Dr | Долг вместе с процентом за период |
| Платёж | D + Dr − X | Остаток для следующей строки |
Пример 1. Долг уменьшается на равные части
Учебное условие: взяли 300 000 рублей на три года под 10% за год. В конце каждого года после начисления процентов гасят по 100 000 рублей основного долга и весь начисленный за этот год процент. Сколько заплатят всего?
Основная часть долга уменьшается одинаково: 300 000 ÷ 3 = 100 000 рублей в год. Но полный платёж включает ещё процент, поэтому платежи не равны.
| Год | Долг в начале, ₽ | Процент 10%, ₽ | Платёж, ₽ | Остаток, ₽ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 300 000 | 30 000 | 130 000 | 200 000 |
| 2 | 200 000 | 20 000 | 120 000 | 100 000 |
| 3 | 100 000 | 10 000 | 110 000 | 0 |
Проверьте первую строку как рекурсию: 300 000 × 1,1 − 130 000 = 200 000. Во второй строке 10% берут уже от 200 000. Эта проверка сильнее, чем одно сложение платежей: она показывает, что условия на остаток выполняются после каждого года.
Пример 2. Равны сами платежи
Теперь другой тип условия: долг 210 000 рублей, ставка 10% за год, два платежа одинакового размера X в конце каждого года после начисления процентов; после второго долг должен стать нулём. Здесь нельзя делить 210 000 пополам: процент первой и второй строки разный.
После первого года останется 210 000 × 1,1 − X = 231 000 − X. После второго: (231 000 − X) × 1,1 − X = 0. Получаем 254 100 − 2,1X = 0, поэтому X = 121 000 рублей.
| Год | Начальный остаток, ₽ | После процентов, ₽ | Платёж, ₽ | Конечный остаток, ₽ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 210 000 | 231 000 | 121 000 | 110 000 |
| 2 | 110 000 | 121 000 | 121 000 | 0 |
В первом примере равны части основного долга, а платежи 130 000, 120 000, 110 000 рублей разные. Во втором равны полные платежи, а погашение основной части меняется: сначала 100 000, затем 110 000 рублей. Это не два названия одного способа.
Если вместо кредита дан вклад
На вкладе после начисления процента сумма растёт. Если в конце первого года после начисления добавили 20 000 рублей, следующая строка начинается уже с увеличенной суммы. Учебное условие: начальные 100 000 рублей, 10% за год, пополнение 20 000 рублей после начисления за первый год, срок два года, других операций нет.
| Год | Начало, ₽ | После 10%, ₽ | Пополнение, ₽ | Конец, ₽ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 000 | 110 000 | 20 000 | 130 000 |
| 2 | 130 000 | 143 000 | 0 | 143 000 |
Формула 100 000 × 1,1² = 121 000 рублей здесь дала бы неверный ответ: она подходит только без пополнения. Если пополнение произошло бы до первого начисления, нужно было бы начинать с 120 000 рублей, и результат после двух лет был бы иным. Всегда подписывайте, когда именно меняется база процента.
Проверьте себя на трёх условиях
Сначала составьте собственные строки «начало → процент → платёж или пополнение → конец». Раскройте решение только после проверки последнего остатка.
1. Равные части долга. Учебный кредит 200 000 рублей под 10% за год гасят за два года равными частями основного долга. Проценты начисляют перед каждым платежом. Найдите оба платежа и их сумму.
Показать решение задачи 1
Основной долг уменьшают на 100 000 ₽ в год. Первый процент 20 000 ₽, платёж 120 000 ₽, остаток 100 000 ₽. Второй процент 10 000 ₽, платёж 110 000 ₽, остаток 0. Всего 230 000 ₽. Ошибка: считать второй процент от прежних 200 000 ₽.
2. Вклад без пополнения. На учебном вкладе 50 000 рублей; проценты 20% начисляют и присоединяют к сумме в конце каждого из двух лет. Сколько будет после второго года?
Показать решение задачи 2
После первого года 50 000 × 1,2 = 60 000 ₽. После второго 60 000 × 1,2 = 72 000 ₽. Ответ: 72 000 ₽. Ошибка: дважды прибавить по 10 000 ₽ от начальных 50 000 ₽ и получить 70 000 ₽.
3. Неизвестная исходная сумма. В учебном кредите два одинаковых платежа по 242 000 рублей в конце года. Перед каждым платежом на текущий остаток начисляют 10%; после второго долга нет. Какой долг был в начале?
Показать решение задачи 3
Обозначим начальный долг D. Равенство (1,1D − 242 000) × 1,1 − 242 000 = 0 даёт 1,21D = 508 200, откуда D = 420 000 ₽. Проверка: 420 000 → 462 000 → 220 000 → 242 000 → 0. Ошибка: делить сумму двух платежей на два или забыть второй процент.
Как проверить модель перед ответом
На практике решения экзаменационной задачи сверьте три вещи с текстом условия: длительность периода совпадает со ставкой, действия в строке стоят в нужном порядке, а последний остаток удовлетворяет условию — обычно нулевой долг или указанная сумма вклада. Если в условии есть иные даты платежей, переменная ставка, комиссии или особое округление, модель нужно изменить; примеры выше их не покрывают. Актуальный номер задания и правила оценивания проверяйте по официальным документам ФИПИ для своего года экзамена, не переносите их из старых разборов.
Если трудность возникает при выводе равенства из последнего остатка, можно отдельно повторить линейные уравнения. Это смежный курс по алгебре, а не обещание специального тренажёра экономических задач ЕГЭ. Основы перевода 10% в 0,1 разобраны в статье как считать проценты.