Вероятность события «A или B» равна P(A) + P(B) − P(A и B). Общую часть вычитают, потому что при сложении она попала в счёт дважды. Если события не могут произойти одновременно, общих исходов нет и достаточно сложить две вероятности.
Представьте один бросок честного шестигранного кубика. Нас устраивает чётное число или число больше четырёх. Чётных исходов три: 2, 4, 6. Чисел больше четырёх два: 5, 6. Шестёрка названа в обоих списках, но за один бросок она выпадает один раз. Поэтому ответ не 3/6 + 2/6 = 5/6, а (3 + 2 − 1)/6 = 4/6 = 2/3.
Что складываем и что вычитаем
События A и B должны относиться к одному и тому же случайному опыту. Запись A ∪ B означает «наступило хотя бы одно из них», включая случай, когда наступили оба. Запись A ∩ B означает «наступили оба». Тогда для любых двух событий одного опыта действует правило:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Пересечение не может иметь отрицательную вероятность. Оно уже включено и в P(A), и в P(B); вычитаем его один раз, а не два. Если исходы равновозможны, можно сначала посчитать количества: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), затем разделить на число всех исходов. Деление «благоприятные / все» требует равновозможности; само правило сложения вероятностей работает и без неё.
| Исход | Чётное A | Больше четырёх B | В A или B |
|---|---|---|---|
| 1 | нет | нет | нет |
| 2 | да | нет | да |
| 3 | нет | нет | нет |
| 4 | да | нет | да |
| 5 | нет | да | да |
| 6 | да | да | да, один раз |
Здесь пересечение A ∩ B = {6}, а объединение A ∪ B = {2, 4, 5, 6}. Таблица показывает не только вычисление, но и место ошибки: в последнем столбце шестёрка занимает одну строку.
Только A: 2, 4 (2 исхода) · A и B: 6 (1 исход) · Только B: 5 (1 исход).
Вместе 2 + 1 + 1 = 4 исхода из 6. Этот счёт равен 3 + 2 − 1 = 4: общая часть остаётся ровно один раз.
Пример 1. События могут совпасть
При одном броске кубика найдите вероятность получить чётное число или число больше четырёх. Обозначим A = {2, 4, 6}, B = {5, 6}. Их общая часть {6}; значит, P(A) = 3/6, P(B) = 2/6 и P(A ∩ B) = 1/6. По правилу получаем 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. Ответ: 2/3. Прямая проверка по таблице даёт четыре подходящих исхода из шести.
Но не всякое «или» требует ненулевого вычитания. Перед следующим расчётом спросите: может ли один исход удовлетворить обоим условиям?
Пример 2. События несовместны
В том же одном броске найдите вероятность получить 1 или 6. Обозначим C = {1}, D = {6}. Один бросок не может одновременно дать две разные грани, поэтому C ∩ D пусто и P(C ∩ D) = 0. Получаем 1/6 + 1/6 − 0 = 2/6 = 1/3. Ответ: 1/3. Проверка перечислением: подходят ровно две грани из шести.
Таким образом, простое сложение — частный случай общей формулы, а не отдельное правило на все задачи со словом «или». При положительных вероятностях несовместность и независимость не одно и то же: первое означает, что два события не встречаются вместе; второе относится к тому, меняет ли знание об одном вероятность другого. Здесь достаточно проверить пересечение. Вычисление вероятности по произведению или при условии другого события — темы отдельных уроков.
На практике этот же счёт помогает оценить шанс получить приз при одном случайном выборе карточки: если приз дают за красную карточку или карточку со звездой, красную карточку со звездой учитывают один раз. Условие должно сообщать состав набора или вероятности трёх частей; без этих данных число не определить.
Проверьте себя
Для каждого задания сначала назовите общий исход или убедитесь, что его нет. Затем раскройте решение и сравните не только число, но и способ проверки.
Задача 1. Один бросок кубика: выпало нечётное число или число больше трёх. Какова вероятность?
Нечётные: {1, 3, 5}; больше трёх: {4, 5, 6}; общая часть {5}. Подходят {1, 3, 4, 5, 6}: (3 + 3 − 1)/6 = 5/6. Ответ: 5/6. Если вышло 1, пересечение {5} посчитано дважды; найдите его в обоих списках и вычтите один раз.
Задача 2. Один бросок кубика: выпало 2 или 5. Какова вероятность?
Множества {2} и {5} не пересекаются. Складываем 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. Ответ: 1/3. Если вы вычли 1/6, проверьте: ни одна грань не может быть одновременно двойкой и пятёркой.
Задача 3. Один бросок кубика: выпало чётное число или число меньше пяти. Какова вероятность?
Чётные {2, 4, 6}; меньше пяти {1, 2, 3, 4}; пересечение {2, 4}. Поэтому (3 + 4 − 2)/6 = 5/6. Ответ: 5/6. Прямой контроль: не подходит только 5. Если получилось больше 1, это сигнал, что общую часть не вычли.
В любой такой задаче итог должен лежать между 0 и 1 и быть не меньше каждой из P(A) и P(B). Если сумма больше 1, вернитесь к пересечению; если результат меньше вероятности одного из событий, проверьте, не вычли ли общую часть дважды. Это проверка вычисления, а не замена перечисления исходов.
Когда хочется повторить, откуда берутся доли 3/6 и 2/6, откройте основы вероятности. Здесь главный новый шаг — учитывать общие исходы при «или».