Основное тригонометрическое тождество — sin²α + cos²α = 1 — верно для любого угла α. Оно позволяет упростить выражение или найти модуль синуса по косинусу и наоборот. Для выбора знака найденного значения нужно знать четверть или другое условие об угле.
Запись sin²α означает (sin α)²: сначала вычисляют синус, затем возводят его в квадрат. Если cos α = 0,6, то sin²α = 1 − 0,36 = 0,64, поэтому sin α может равняться 0,8 или −0,8. Для острого угла выбираем 0,8. За тождеством стоит теорема Пифагора для точки на окружности радиуса 1.
Слово «синус» появилось из-за ошибки перевода. Индийские математики называли эту величину «джива» (тетива лука), арабы записали её похожим словом, а европейский переводчик принял его за арабское «джайб» — «изгиб, впадина» — и перевёл латинским «sinus». Так математическая функция получила имя, означающее буквально «залив».
Что такое основное тригонометрическое тождество простыми словами?
Это правило связывает синус и косинус одного и того же угла так, что по значению одного можно найти модуль другого, а знак определить по положению угла. Формула короткая: sin²α + cos²α = 1. Здесь sin²α — это (sin α)², то есть синус угла, возведённый в квадрат, а не синус от α². Сумма этих двух квадратов не зависит от угла и всегда равна единице.
Напомним определения через окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если повернуть радиус на угол α, его конец попадёт в точку с координатами (cos α; sin α). То есть косинус — это координата x этой точки, а синус — координата y. Отсюда сразу видно, почему квадраты синуса и косинуса в сумме дают единицу.
Почему sin²α + cos²α всегда равно 1?
Для точки единичной окружности вне осей перпендикуляр к оси x образует прямоугольный треугольник. Его катеты имеют длины |cos α| и |sin α|, а гипотенуза равна 1. По теореме Пифагора сумма квадратов этих длин равна 1; квадраты модулей совпадают с квадратами самих значений. На осях одна координата равна 0, другая равна 1 или −1, поэтому тождество выполняется и без невырожденного треугольника.
Запишем это по шагам: катет² + катет² = гипотенуза², то есть (cos α)² + (sin α)² = 1². А единица в квадрате — это по-прежнему единица. Получаем sin²α + cos²α = 1. Важно, что радиус мы взяли равным 1 — именно поэтому в правой части стоит единица, а не что-то другое.
Как найти синус, если известен косинус?
Это главная практическая польза тождества. Из sin²α + cos²α = 1 выражаем нужную величину: sin²α = 1 − cos²α, а значит sin α = ±√(1 − cos²α). Знак (плюс или минус) выбирают по тому, в какой координатной четверти лежит угол.
Разберём конкретный пример. Пусть cos α = 0,6 и угол α острый (лежит в первой четверти, где синус положителен). Тогда sin²α = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64, откуда sin α = √0,64 = 0,8. Проверка: 0,8² + 0,6² = 0,64 + 0,36 = 1. Всё сходится — это как раз знакомый «египетский» треугольник со сторонами 3, 4, 5.
Какие формулы следуют из тождества?
Если обе части разделить на квадрат косинуса или синуса, получаются ещё два полезных равенства. Они связывают тангенс и котангенс с косинусом и синусом:
| Формула | Как получена |
|---|---|
| 1 + tg²α = 1 / cos²α | тождество разделили на cos²α |
| 1 + ctg²α = 1 / sin²α | тождество разделили на sin²α |
Эти два равенства позволяют переходить от тангенса к косинусу и обратно. Вместе с самим тождеством они образуют базовый набор, которым пользуются при упрощении тригонометрических выражений и решении уравнений.
Где это применяется в реальной жизни?
В модели гармонического колебания без трения, например груза на идеальной пружине, потенциальная энергия меняется пропорционально cos²α, а кинетическая — sin²α с одинаковым коэффициентом. Их сумма постоянна именно благодаря sin²α + cos²α = 1. Это утверждение о конкретной модели: сумма самих sin α и cos α не постоянна, и из одного тождества нельзя вывести закон сохранения для любого электрического сигнала.
В компьютерной графике точку при повороте на угол α можно преобразовать по формулам x′ = x cos α − y sin α и y′ = x sin α + y cos α. Если возвести новые координаты в квадрат и сложить, смешанные слагаемые сократятся, а тождество даст x′² + y′² = x² + y². Значит, поворот сохраняет расстояние до начала координат. Это геометрический смысл формул; способ и скорость вычисления функций зависят от конкретной программы.
Задачи для самопроверки
1. Дано sin α = 0,6, угол острый. Найдите cos α.
Из тождества cos²α = 1 − sin²α = 1 − 0,36 = 0,64. Так как угол острый, косинус положителен: cos α = √0,64 = 0,8.
2. Может ли синус угла равняться 1,2?
Нет. Если бы sin α = 1,2, то sin²α = 1,44, что уже больше 1, и равенство sin²α + cos²α = 1 стало бы невозможным. Поэтому синус и косинус любого угла всегда лежат в пределах от −1 до 1.
3. Упростите выражение 1 − sin²α.
Из тождества sin²α + cos²α = 1 следует, что 1 − sin²α = cos²α. Это одно из самых частых упрощений в тригонометрии.
4. Проверьте тождество для угла 30°.
sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2. Поэтому (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 точно. Если заменить √3/2 приближением 0,866, получится лишь приближённая проверка: 0,25 + 0,866² = 0,999956 ≈ 1. Отличие связано с округлением, а не с нарушением тождества.
5. Дано cos α = −0,8, угол во второй четверти. Найдите sin α.
sin²α = 1 − (−0,8)² = 1 − 0,64 = 0,36. Во второй четверти синус положителен, поэтому sin α = √0,36 = 0,6.
Немного истории
Таблицы синусов составляли ещё астрономы Древней Индии и средневекового Востока — им нужно было предсказывать положения светил. Само слово «тригонометрия» («измерение треугольников») ввёл в науку в XVI веке немецкий математик Бартоломео Питискус. А связь синуса и косинуса через окружность окончательно закрепил Леонард Эйлер в XVIII веке, сделав тригонометрию частью анализа.
Как связаны графики квадратов синуса и косинуса
Графики sin²α и cos²α удобно сравнивать по одной вертикали, то есть при одном и том же угле. Если sin²α = 0,25, то cos²α = 0,75; если первое значение выросло до 0,8, второе равно 0,2. Их сумма всегда 1, но каждая из функций меняется. Именно такое дополнение до постоянной суммы использовано выше в модели энергии пружинного осциллятора. Для описания реального колебания сначала проверяют условия физической модели, а не только форму нарисованных волн.
Частые вопросы
Что такое основное тригонометрическое тождество?
Это равенство sin²α + cos²α = 1, верное для любого угла α. Оно означает, что сумма квадратов синуса и косинуса одного угла всегда равна единице. Тождество следует из формулы расстояния от начала координат до точки (cos α; sin α) на окружности радиуса 1.
Как из тождества найти косинус по синусу?
Выразите косинус: cos α = ±√(1 − sin²α). Сначала подставьте значение синуса, вычислите 1 минус его квадрат и извлеките корень. Знак плюс или минус выбирают по четверти, в которой лежит угол: где косинус положителен, берут плюс.
Почему в правой части стоит именно 1?
Потому что точка (cos α; sin α) лежит на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Сумма квадратов её координат равна квадрату расстояния до центра, то есть 1² = 1. Для точки вне осей это объясняет прямоугольный треугольник с длинами катетов |cos α| и |sin α|; осевые точки проверяются непосредственно.
Чем sin²α отличается от sin α²?
Запись sin²α означает (sin α)² — сначала берут синус угла, потом возводят результат в квадрат. А sin(α²) означало бы синус от квадрата угла — совсем другое число. В тождестве используется именно первый вариант: квадрат самого синуса.
Для каких углов верно тождество?
Для абсолютно любых: острых, тупых, отрицательных, больше 360°. Синус и косинус определены для всех углов, и их точка всегда лежит на окружности радиуса 1, поэтому равенство sin²α + cos²α = 1 выполняется без исключений.
Короткий ответ
Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Оно следует из теоремы Пифагора для единичной окружности.
Проверьте себя
Если sin α = 3/5 и α острый, найдите cos α.
cos²α=1−9/25=16/25, значит cos α=4/5.
Чему равно sin²α + cos²α при любом α?
1.
Почему при извлечении корня нужен знак?
cos α может быть положительным или отрицательным в зависимости от четверти.