Короткий ответ: тригонометрическая окружность — это окружность радиуса 1 с центром O(0;0). Угол отсчитывают от положительной полуоси Ox: положительный — против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Точка угла α имеет координаты (cos α; sin α), поэтому косинус читают по x, а синус — по y.
Как устроена тригонометрическая окружность
Начальная точка — (1;0), ей соответствуют 0° и любой полный оборот: 360°, 720° и так далее. Верхняя точка (0;1) соответствует 90°, левая (−1;0) — 180°, нижняя (0;−1) — 270°. Положительный поворот идёт против часовой стрелки.
Радиус равен 1, поэтому для любой точки M(x;y) на окружности выполняется x²+y²=1. Если радиус OM образует с положительным направлением Ox угол α, его горизонтальная проекция равна cos α, а вертикальная — sin α.
Четверти и знаки
| Положение | Диапазон | cos α = x | sin α = y |
|---|---|---|---|
| I четверть | 0°<α<90° | + | + |
| II четверть | 90°<α<180° | − | + |
| III четверть | 180°<α<270° | − | − |
| IV четверть | 270°<α<360° | + | − |
Точки 0°, 90°, 180° и 270° лежат на осях и не относятся к четвертям. Мнемоника не обязательна: достаточно посмотреть, положительны или отрицательны x и y.
Стандартные углы
| α | Точка (cos α; sin α) |
|---|---|
| 0° | (1;0) |
| 30° | (√3/2;1/2) |
| 45° | (√2/2;√2/2) |
| 60° | (1/2;√3/2) |
| 90° | (0;1) |
Остальные стандартные точки получают отражениями. Например, 120°=180°−60° лежит во II четверти, поэтому модуль координат такой же, как у 60°, но x отрицателен: (−1/2;√3/2).
Как работать с углами больше 360° и отрицательными
Добавление или вычитание 360° не меняет конечную точку. Для 450° вычитаем 360° и получаем 90°. Для −60° добавляем 360° и получаем 300°. Такой переход называется приведением к одному обороту.
Исследователь единичной окружности
Введите угол: схема покажет конечную точку, приведённый угол, положение и приближённые координаты.
Разобранные примеры
120°. Это II четверть. Угол связан с 60°, поэтому cos120°=−1/2, sin120°=√3/2.
−60°. −60°+360°=300°, IV четверть: cos положителен, sin отрицателен.
450°. 450°−360°=90°. Точка (0;1) лежит на положительной полуоси Oy, а не в четверти.
На практике: координаты точки на вращающемся колесе
В компьютерной анимации точку на ободе колеса можно задать без отдельной таблицы для каждого угла: x=x₀+R·cos α, y=y₀+R·sin α. Здесь (x₀;y₀) — центр, R — радиус. Если центр в начале координат и R=2, то при α=90° точка имеет координаты (0;2), а при α=180° — (−2;0).
Почему подходит единичная окружность? Умножение обеих её координат на R растягивает радиус с 1 до R, а прибавление координат центра переносит всю окружность. На экране ось y часто направлена вниз: тогда для привычного положительного поворота против часовой стрелки используют y=y₀−R·sin α. В программных тригонометрических функциях также нужно проверить единицу угла: обычно это радианы, а не градусы.
Типичные ошибки
- Начинать отсчёт от верхней точки вместо (1;0).
- Откладывать положительный угол по часовой стрелке.
- Менять местами sin и cos: всегда x=cos, y=sin.
- Называть точку на оси частью четверти.
Проверьте себя
Где находится 210° и каковы знаки?
III четверть; cos<0 и sin<0. Если выбрана другая четверть, сначала отметьте 180°, затем пройдите ещё 30° против часовой стрелки.
К какому углу одного оборота приводится 780°?
780°−720°=60°. Если ответ остался больше 360°, продолжайте вычитать полные обороты по 360°.
К какому углу приводится −450°?
−450°+720°=270°, нижняя полуось Oy. Если получился отрицательный угол, добавьте ещё один полный оборот 360°.
Какие знаки у cos 90° и sin 90°?
cos 90°=0, sin 90°=1. Если получилось «cos положителен», вернитесь к точке (0;1): нулевая координата не имеет знака плюс или минус.
Связанные темы
Отдельно разберите радианы и перевод в градусы, а затем выведите из x²+y²=1 тождество sin²α+cos²α=1.
Если трудность не в формулах, а в чтении углов и чертежей, полезно укрепить геометрическую базу. Посмотрите программу курса «Геометрия и измерения». Задачи именно на тригонометрическую окружность доступны выше без регистрации.