Закон сохранения импульса утверждает: если суммарным внешним воздействием на систему за время взаимодействия можно пренебречь, векторная сумма импульсов всех тел системы не меняется. Для двух тел:
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂.
Здесь u — скорости до взаимодействия, v — после него. Это векторное равенство. В задаче на одной прямой направление учитывают знаком: скорость вдоль выбранной положительной оси положительна, против неё — отрицательна. Если знаки проекций пока непривычны, сначала повторите сложение векторов.
Импульс тела и импульс системы
Импульс отдельного тела равен p=mv, где m — масса в килограммах, а v — скорость в метрах в секунду. Единица импульса — кг·м/с. Импульс направлен так же, как скорость.
Во время столкновения импульс каждого тела обычно меняется: тела действуют друг на друга. Сохраняться может суммарный импульс выбранной системы. Поэтому перед формулой нужно назвать входящие в систему тела. Если взять только одну тележку, сила второй тележки для неё внешняя и её импульс не обязан оставаться постоянным. Если взять обе тележки, силы их взаимодействия внутренние и дают противоположные изменения импульса.
Условие «замкнутая система» в школьной задаче часто означает, что внешние силы отсутствуют, скомпенсированы или действуют так мало времени, что их импульсом можно пренебречь. Например, при коротком ударе гладких тел горизонтальные внешние силы могут быть малы по сравнению с силами удара. Сила тяжести и реакция опоры при этом взаимно компенсируются по вертикали.
Почему сохраняется сумма? В ньютоновской модели силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны: F₁₂=−F₂₁. За одно и то же время они дают противоположные изменения импульсов, Δp₁=−Δp₂. При сложении эти изменения сокращаются; суммарный импульс может изменить только некомпенсированное внешнее воздействие.
Как работать со знаками скоростей
- Нарисуйте одну ось вдоль движения и укажите стрелкой положительное направление.
- Запишите массу каждого тела положительным числом.
- Скоростям вдоль оси поставьте знак «+», встречным скоростям — «−».
- Не меняйте ось между состояниями «до» и «после».
- Интерпретируйте знак ответа: минус означает движение против выбранной оси, а не «отрицательную быстроту».
Например, если первое тело движется вправо со скоростью 4 м/с, а второе влево со скоростью 1 м/с, удобно записать u₁=4 м/с и u₂=−1 м/с. Складывать модули 4 и 1 нельзя: импульсы направлены противоположно.
Упругое и неупругое столкновение
Закон сохранения импульса применяют и к упругим, и к неупругим столкновениям замкнутой системы. Различие относится к кинетической энергии.
- При упругом столкновении сохраняются и полный импульс, и суммарная кинетическая энергия.
- При неупругом столкновении импульс сохраняется, но часть кинетической энергии переходит во внутреннюю: тела деформируются, нагреваются, возникает звук.
- Если тела после удара движутся вместе, столкновение называют абсолютно неупругим. Их общая скорость находится из (m₁u₁+m₂u₂)=(m₁+m₂)v.
Не следует автоматически добавлять равенство кинетических энергий к любой задаче: при неупругом столкновении полный импульс замкнутой системы сохраняется, а кинетическая энергия — нет.
Алгоритм решения
- Выберите систему. Перечислите тела и внешние воздействия.
- Выберите интервал. Сравнивайте состояния непосредственно до и после короткого взаимодействия.
- Задайте ось. Подпишите знаки всех скоростей.
- Запишите полный импульс. Не пропускайте неподвижное тело: его слагаемое равно нулю.
- Решите уравнение. Единицы должны быть согласованы.
- Проверьте. Повторно вычислите обе суммы и объясните знак ответа.
Три решённые задачи
1. Встречное движение тележек
Тележка 2 кг движется вправо со скоростью 4 м/с, тележка 3 кг — влево со скоростью 1 м/с. После взаимодействия первая движется вправо со скоростью 1 м/с. Выберем вправо за «плюс»:
2·4+3·(−1)=2·1+3v₂. Отсюда 5=2+3v₂ и v₂=1 м/с. Вторая тележка изменила направление.
| Состояние | Импульс первой тележки | Импульс второй тележки | Сумма |
|---|---|---|---|
| До | 8 кг·м/с | −3 кг·м/с | 5 кг·м/с |
| После | 2 кг·м/с | 3 кг·м/с | 5 кг·м/с |
2. Тела сцепились
Тело 1 кг движется вправо со скоростью 6 м/с, тело 3 кг — влево со скоростью 2 м/с. После удара они сцепляются. Начальный импульс равен 1·6+3·(−2)=0. Поэтому (1+3)v=0 и v=0. Нулевой полный импульс не означает, что до удара тела не двигались.
3. Человек идёт по лодке
На практике противоположное движение заметно, когда человек перемещается по лёгкой лодке. Рассмотрим модель: система «человек 60 кг + лодка 90 кг» первоначально покоится. Человек идёт вправо со скоростью 1,5 м/с относительно берега. Сопротивлением воды за короткое время пренебрежём:
0=60·1,5+90v. Получаем v=−1 м/с. Лодка движется влево; противоположные импульсы взаимно компенсируются.
Типичные ошибки
- Сохраняют импульс одного тела. Во время взаимодействия он меняется; складывайте импульсы системы.
- Складывают модули. Сначала выберите ось и расставьте знаки.
- Считают любое столкновение упругим. Импульс и кинетическая энергия — разные проверки.
- Игнорируют внешнее воздействие. Объясните, почему его импульс равен нулю или мал на выбранном интервале.
- Пугаются отрицательного ответа. Он сообщает направление относительно оси.
Задачи для самопроверки
- Тело 2 кг движется вправо 3 м/с и сцепляется с покоящимся телом 4 кг. Найдите общую скорость.
- Шайба 0,2 кг летит вправо 5 м/с, после удара — влево 1 м/с. Найдите изменение её импульса.
- Два одинаковых тела движутся со скоростями 7 и −3 м/с и сцепляются. Найдите скорость.
- Почему импульс мяча при ударе о стену не сохраняется, если системой считать только мяч?
Ответы
- v=(2·3)/6=1 м/с вправо.
- Δp=0,2·(−1)−0,2·5=−1,2 кг·м/с.
- v=(7−3)/2=2 м/с.
- Стена действует на мяч внешней силой; расширенная система «мяч + стена + Земля» получает компенсирующее изменение импульса.
Частые вопросы
Должны ли внешние силы полностью отсутствовать?
Достаточно, чтобы их суммарный импульс за выбранный интервал был нулевым или пренебрежимо малым для точности модели.
Сохраняется ли импульс при взрыве?
Да, для замкнутой системы осколков: внутренние силы перераспределяют импульс, но не меняют его сумму.
Как закон связан с ракетой?
Ракета получает импульс в одну сторону, а выброшенные газы — противоположный. Это обмен внутри системы «ракета + газы».
Перед применением закона сохранения нужно решить, какие тела входят в систему. Этот переход от ситуации к модели связан с более широким исследовательским подходом. Посмотрите программу курса «Научное мышление» и выберите смежное продолжение.