Текстовую задачу ОГЭ удобно решать не по названию сюжета, а по связи величин. Назовите неизвестное, выразите через него остальные величины, запишите равенство из условия. После решения проверьте не только вычисления, но и смысл числа: количество предметов не бывает отрицательным или дробным, если в условии считают целые предметы. Ниже приведены авторские учебные задачи, а не задания из официального варианта.
Сначала выберите неизвестное и ограничения
Если в условии сравниваются две группы, обозначьте через x число в одной из них. Тогда «на 6 больше» означает x + 6, а «вдвое больше» означает 2x. Запишите, что представляет каждое выражение и в каких единицах оно измеряется. Ещё до уравнения отметьте область допустимых значений: число людей, билетов или упаковок должно быть целым и неотрицательным. Если величина стоит в знаменателе, исключите ноль.
Полезный вопрос к каждой строке: какое именно предложение условия даёт это равенство? Если такого предложения нет, уравнение пока не обосновано. Здесь внимание на экзаменационной проверке допустимости ответа, а не на перечне бытовых сюжетов.
Неизвестное x → связь величин → уравнение → ограничения → подстановка в исходный текст.
Для сюжетов со скоростью и производительностью нужны свои связи величин: они отдельно разобраны в задачах на движение и задачах на работу. Здесь разбираем общий экзаменационный шаг после составления уравнения: какие его корни действительно отвечают вопросу.
Разбор: когда корень уравнения не подходит
В школьном наборе 54 карандаша разложили поровну по коробкам. Если бы коробок было на 3 меньше, в каждой оказалось бы на 3 карандаша больше. Сколько коробок было сначала?
Пусть x — исходное число коробок. Тогда x — целое число и x > 3: иначе нельзя убрать три коробки и продолжить раскладывать карандаши. В одной коробке сначала 54/x карандашей, после изменения — 54/(x − 3). По условию:
54/(x − 3) = 54/x + 3. Умножаем на x(x − 3), помня ограничение x > 3: 54x = 54(x − 3) + 3x(x − 3). Отсюда x² − 3x − 54 = 0, то есть (x − 9)(x + 6) = 0. Корни 9 и −6, но отрицательное число коробок недопустимо. При x = 9 сначала в коробке 6 карандашей; после удаления трёх коробок остаётся 6 коробок по 9 карандашей. Разница равна 3, всего в обоих случаях 54. Ответ: 9 коробок.
x = 9: 9 коробок по 6 карандашей → 6 коробок по 9. x = −6: отрицательное число коробок невозможно, даже если оно решает преобразованное уравнение.
Разбор: проверка целого количества
Для кружка купили тетради по 35 ₽ и ручки по 20 ₽. Тетрадей было на 4 больше, чем ручек; вся покупка стоила 470 ₽. Сколько купили ручек?
Пусть x — число ручек, тогда тетрадей x + 4. По стоимости получаем 20x + 35(x + 4) = 470. После раскрытия скобок: 55x + 140 = 470, значит x = 6, тетрадей 10. Проверка по исходной покупке: 6 · 20 + 10 · 35 = 470. Ответ: 6 ручек. Если ошибочно переписать сумму как 465 ₽, уравнение даст x = 65/11. Дробное число ручек нельзя округлить до шести и объявить ответом: это сигнал вернуться к условию и проверить запись чисел.
Три задачи для самостоятельной проверки
В каждой задаче сначала сформулируйте область допустимых значений, затем составьте уравнение. Откройте решение только после подстановки своего ответа в исходное условие.
-
В двух группах 41 ученик. Во второй на 7 учеников больше, чем в первой. Сколько учеников в каждой группе?
Показать решение
Пусть в первой группе x учеников, x — неотрицательное целое. Тогда x + (x + 7) = 41, откуда x = 17. Во второй 24 ученика. Проверка: 17 + 24 = 41 и 24 − 17 = 7. Ответ: 17 и 24. Если получилось 41 и 48, за неизвестное ошибочно приняли общее число.
-
За 7 одинаковых билетов и сервисный сбор 45 ₽ заплатили 675 ₽. Сколько стоит один билет без сбора?
Показать решение
Пусть x — цена билета в рублях, x ≥ 0. Тогда 7x + 45 = 675, поэтому x = 90. Проверка: 7 · 90 + 45 = 675. Ответ: 90 ₽. Сбор относится ко всей покупке, поэтому его нельзя прибавлять к цене каждого билета.
-
24 значка разложили поровну по коробкам. Если бы коробок было на 2 больше, в каждой оказалось бы на 2 значка меньше. Сколько коробок было сначала?
Показать решение
Пусть x — исходное целое положительное число коробок. Тогда 24/x − 24/(x + 2) = 2. При x > 0 умножаем на x(x + 2): 48 = 2x(x + 2), то есть x² + 2x − 24 = 0. Корни 4 и −6; второй исключаем. Проверка: 24/4 = 6 значков, 24/6 = 4 значка, разница 2. Ответ: 4 коробки. Отрицательный корень уравнения не является ответом задачи.
После решения вернитесь к словам «сколько», «на сколько» и «всего»: укажите единицы, проверьте ограничение для неизвестного и подставьте результат в исходную ситуацию.