Скорость, время, расстояние: формулы и задачи

Короткий ответ

При равномерном движении путь, скорость и время связаны формулой S = v · t. Из неё получаются ещё две: v = S / t и t = S / v. Перед вычислением приведите величины к согласованным единицам: например, при скорости в км/ч время должно быть выражено в часах.

Интерактив отключён, но формулы, алгоритм и решённый пример выше остаются доступными.

Как связаны путь, скорость и время

Путь S — длина пройденной траектории. Время движения t — продолжительность движения. Скорость v показывает, какой путь тело проходит за единицу времени. Скорость 60 км/ч означает, что при неизменном темпе автомобиль за каждый час проезжает 60 км: за 2 часа — 120 км, а за полчаса — 30 км.

При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени: если время увеличить в два раза, путь тоже увеличится в два раза. Отсюда основная формула:

S = v · t.

Делением обеих частей формулы можно выразить две другие величины:

• v = S / t — чтобы найти скорость, путь делят на время;
• t = S / v — чтобы найти время, путь делят на скорость.

Эти формулы применимы к равномерному движению, когда скорость постоянна. Если скорость меняется, формула S = vt верна для всего интервала только тогда, когда v обозначает среднюю путевую скорость, вычисленную по общему пути и общему времени.

Три формулы и единицы измерения

Что найти	Формула	Типичные единицы
Путь	S = v · t	км, м
Скорость	v = S / t	км/ч, м/с
Время	t = S / v	ч, мин, с

Размерности помогают проверить выбор действия. Например, км/ч · ч = км, поэтому при поиске пути скорость нужно умножить на время. А км / (км/ч) = ч, поэтому при поиске времени путь делят на скорость.

Как запомнить формулы

Надёжнее всего запомнить одну связь S = vt и выражать из неё нужную величину. В качестве подсказки можно использовать «треугольник формул»: S располагают сверху, v и t — снизу. Если закрыть S, рядом останутся v и t, которые нужно умножить. Если закрыть v или t, получится дробь.

Как решать обычную задачу на движение

1. Определите объекты и участок движения, о котором говорится в условии.
2. Выпишите известные путь, скорость и время вместе с единицами.
3. Отметьте, какую величину требуется найти.
4. Приведите единицы к одной системе.
5. Выберите формулу, подставьте значения и выполните вычисления.
6. Запишите ответ с единицей и проверьте его обратным действием или по смыслу.

Пример 1. Найти расстояние

Велосипедист ехал 1 ч 40 мин со скоростью 18 км/ч. Скорость дана в километрах в час, поэтому переводим время в часы: 1 ч 40 мин = 1 + 40/60 = 1 + 2/3 = 5/3 ч. Теперь применяем S = vt:

S = 18 · 5/3 = 30 км.

Проверка по смыслу: за один час велосипедист проедет 18 км, а ещё за две трети часа — 12 км. Всего 30 км.

Пример 2. Найти скорость

Бегун преодолел 1500 м за 5 мин. Чтобы получить скорость в м/с, переводим 5 мин в секунды: 5 · 60 = 300 с. Тогда:

v = 1500 / 300 = 5 м/с.

Переведём результат в км/ч: 5 · 3,6 = 18 км/ч. Обе записи описывают одну и ту же скорость.

Пример 3. Найти время

Поезду нужно пройти 360 км со скоростью 90 км/ч. При ненулевой постоянной скорости:

t = 360 / 90 = 4 ч.

Проверка: за 4 часа поезд со скоростью 90 км/ч пройдёт 90 · 4 = 360 км.

Как переводить единицы

• 1 км = 1000 м;
• 1 ч = 60 мин = 3600 с;
• из км/ч в м/с: разделить на 3,6;
• из м/с в км/ч: умножить на 3,6.

Почему появляется число 3,6? Один километр в час — это 1000 м за 3600 с: 1 км/ч = 1000/3600 м/с = 1/3,6 м/с. Поэтому 72 км/ч = 72 / 3,6 = 20 м/с.

Минуты не всегда переводятся в десятичную дробь с одной цифрой. Например, 20 мин = 20/60 ч = 1/3 ч, а 40 мин = 2/3 ч. Если округлить эти значения слишком рано, ответ потеряет точность.

Как решать задачи на движение навстречу друг другу?

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, расстояние между ними уменьшается за счёт обоих движений. За один час первый объект сокращает расстояние на v₁ километров, второй — на v₂ километров. Поэтому скорость сближения равна:

v_сбл = v₁ + v₂.

Если начальное расстояние S, а объекты начали двигаться одновременно и не останавливались, время до встречи равно t = S / (v₁ + v₂).

Пример: расстояние между городами 270 км. Две машины одновременно выехали навстречу со скоростями 60 и 75 км/ч. Скорость сближения: 60 + 75 = 135 км/ч. Время до встречи: 270 / 135 = 2 ч. За это время первая машина пройдёт 120 км, вторая — 150 км; 120 + 150 = 270 км.

Если объекты вышли не одновременно, сначала отдельно найдите путь того, кто начал раньше. После старта второго объекта используйте оставшееся между ними расстояние.

А если объекты догоняют друг друга?

При движении в одном направлении расстояние между объектами меняется с разностью скоростей. Если задний объект быстрее переднего, скорость сближения равна v_быстр − v_медл. Делить начальный разрыв на эту разность можно только при положительной скорости сближения: более медленный объект не догонит более быстрый.

Пример вдогонку: впереди велосипедист движется со скоростью 12 км/ч, сзади мотоциклист — 48 км/ч. Начальный разрыв равен 18 км. За час мотоциклист сокращает разрыв на 48 − 12 = 36 км. Поэтому время до встречи:

t = 18 / 36 = 0,5 ч = 30 мин.

Проверка: за полчаса велосипедист проедет 6 км, а мотоциклист — 24 км. Разность пройденных путей 24 − 6 = 18 км, то есть начальный разрыв закрыт.

Если объекты движутся из одной точки в противоположные стороны, скорость удаления равна сумме скоростей: v_уд = v₁ + v₂. Если они движутся в одном направлении и передний объект быстрее, скорость удаления равна разности скоростей.

Как правильно находить среднюю скорость

Средняя путевая скорость равна всему пройденному пути, делённому на всё затраченное время:

v_ср = S_общ / t_общ.

В общее время входят остановки, если в условии спрашивается средняя скорость за всю поездку, а не только во время движения.

Пример с равными расстояниями: автомобиль проехал 60 км со скоростью 60 км/ч и ещё 60 км со скоростью 40 км/ч. На первый участок ушёл 1 ч, на второй — 1,5 ч. Весь путь равен 120 км, всё время — 2,5 ч. Поэтому v_ср = 120 / 2,5 = 48 км/ч, а не (60 + 40) / 2 = 50 км/ч.

Среднее арифметическое скоростей можно использовать, если движение с каждой скоростью продолжалось одинаковое время. Например, если автомобиль ехал 1 час со скоростью 40 км/ч и 1 час со скоростью 80 км/ч, то он прошёл 120 км за 2 часа, а средняя скорость равна 60 км/ч.

Где это пригодится взрослым?

По связи пути, скорости и времени можно оценить, когда нужно выйти из дома, сколько займёт поездка или успеет ли курьер к назначенному часу. Навигатор решает более сложную задачу: учитывает разные скорости на участках, пробки и остановки. Но итоговое время маршрута всё равно связано с длиной пути и ожидаемой скоростью движения.

При планировании важно отличать расчёт от реального прогноза. Формула t = S/v даёт точное время при постоянной известной скорости. Для дороги с перекрёстками, пробками и остановками нужна модель из нескольких участков: время каждого участка находят отдельно, а затем складывают.

Типичные ошибки

• Умножать км/ч на минуты. Сначала переведите минуты в часы.
• Делить скорость на путь, когда ищется время. Проверяйте единицы: км / (км/ч) = ч.
• Всегда складывать скорости. Сумма или разность зависит от направления движения и от того, сближаются объекты или удаляются.
• Вычитать скорости без учёта порядка. Для времени погони нужна положительная разность: скорость догоняющего минус скорость переднего.
• Находить среднее арифметическое скоростей на участках. Общий способ — разделить весь путь на всё время.
• Забывать задержку старта. Если один объект вышел раньше, сначала рассчитайте, какой разрыв появился к началу совместного движения.
• Применять S = vt к ускоренному движению как к движению с постоянной скоростью. Одна скорость v описывает равномерное движение либо среднюю скорость за выбранный интервал.
• Оставлять ответ без единицы. Число 5 может означать 5 км, 5 ч или 5 км/ч; без единицы ответ неполон.

Задачи для самопроверки

1. Велосипедист ехал 3 часа со скоростью 15 км/ч. Какой путь он проехал?

S = 15 · 3 = 45 км.

2. Автомобиль проехал 240 км за 4 часа. Найдите скорость.

v = 240 / 4 = 60 км/ч.

3. Скорость поезда 80 км/ч. За сколько он преодолеет 400 км?

t = 400 / 80 = 5 ч.

4. Скорость 54 км/ч, время 20 мин. Найдите путь.

20 мин = 1/3 ч. S = 54 · 1/3 = 18 км.

5. Турист прошёл 12 км за 2 ч 30 мин. Найдите среднюю скорость.

2 ч 30 мин = 2,5 ч. v_ср = 12 / 2,5 = 4,8 км/ч.

6. Два города находятся на расстоянии 210 км. Навстречу выехали машины со скоростями 50 и 55 км/ч. Когда они встретятся?

Скорость сближения: 50 + 55 = 105 км/ч. t = 210 / 105 = 2 ч.

7. Пешеход идёт со скоростью 4 км/ч. В 6 км позади него велосипедист едет со скоростью 16 км/ч. Когда велосипедист догонит пешехода?

Скорость сближения: 16 − 4 = 12 км/ч. t = 6 / 12 = 0,5 ч = 30 мин.

8. Два поезда одновременно отправились из одной точки в противоположные стороны со скоростями 70 и 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1,5 часа?

Скорость удаления: 70 + 90 = 160 км/ч. S = 160 · 1,5 = 240 км.

9. Половину времени автомобиль ехал 40 км/ч, половину — 80 км/ч. Найдите среднюю скорость.

Промежутки времени равны, поэтому v_ср = (40 + 80) / 2 = 60 км/ч. Через общий путь и время получается тот же результат.

10. Автомобиль проехал 250 км: первый час со скоростью 70 км/ч, остальной путь — со скоростью 60 км/ч. Сколько времени заняла дорога?

За первый час пройдено 70 км. Осталось 250 − 70 = 180 км. На них ушло 180 / 60 = 3 ч. Всё время: 1 + 3 = 4 ч.

Проверьте себя

• Можете ли вы по единицам объяснить, почему при поиске времени путь делят на скорость?
• Сумеете ли вы определить без вычислений, нужно сложить или вычесть скорости двух объектов?
• Можете ли вы объяснить, почему средняя скорость на равных участках пути не всегда равна среднему арифметическому двух скоростей?

Если ответ вызывает затруднение, вернитесь к соответствующему примеру и составьте схему: начальное расстояние, направление движения, скорость каждого объекта и то, как меняется расстояние за единицу времени.

Немного истории

Задачи о движении появились задолго до современной записи формул: путешественникам и морякам требовалось оценивать пройденный путь по времени и темпу движения. В школьных задачах используется простейшая модель равномерного движения. Она не описывает разгон и торможение, зато позволяет ясно увидеть связь трёх величин и служит основой для более сложных моделей в физике.

Частые вопросы

По какой формуле решают задачи на движение?

Основная формула — S = v · t. Из неё получают v = S/t и t = S/v. Сначала определите, какие две величины известны, а затем проверьте, согласованы ли их единицы.

Как найти скорость сближения?

При движении навстречу скорости складывают: v_сбл = v₁ + v₂. При движении вдогонку из скорости догоняющего вычитают скорость переднего объекта. После этого начальное расстояние делят на скорость сближения.

Как перевести минуты в часы?

Количество минут нужно разделить на 60. Например, 30 мин = 30/60 = 0,5 ч, 15 мин = 0,25 ч, а 20 мин = 1/3 ч.

Чему равна средняя скорость на всём пути?

Средняя путевая скорость равна общему пути, делённому на общее время. Она не обязана совпадать со средним арифметическим скоростей на отдельных участках.

Как найти время, если известны путь и скорость?

При положительной постоянной скорости используйте t = S/v. Например, путь 400 км при скорости 80 км/ч займёт 400/80 = 5 ч.

Можно ли получить отрицательное время?

В стандартной задаче на длительность движения путь, скорость и время неотрицательны, а делить можно только на ненулевую скорость. Отрицательный результат означает, что неверно выбрана модель или порядок вычитания скоростей.

Путь и перемещение — одно и то же?

Нет. Путь — длина траектории, он не бывает отрицательным. Перемещение связывает начальное и конечное положения и учитывает направление. На этой странице буква S обозначает путь.

Продолжение обучения

Что меняется вместе, а что — в обратную сторону? Расстояние, скорость и время дают наглядный повод разобраться с пропорциями. Посмотрите программу курса «Пропорциональное мышление» и выберите дальнейшие занятия.

Связь S = vt — пример прямой пропорциональности при постоянной скорости. Подробнее: прямая и обратная пропорциональность.

Смежное направление — курс «Научное мышление». Его программу стоит сравнить, если интересует не только вычисление, но и выбор модели для наблюдаемой ситуации.

Что изучать дальше

После базовых задач разберите прямую и обратную пропорциональность, а затем переходите к графикам движения. На графике пути от времени наклон прямого участка связан со скоростью: чем больше скорость, тем быстрее растёт пройденный путь.

Материал подготовлен редакцией STEMskills. Об образовательном проекте.